Temel Bileşenler Analizi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Temel Bileşenler Analizi (TBA), çok değişkenli bir veri setinin varyans-kovaryans yapısını daha düşük boyutlu ve birbirine dik (ortogonal) yeni eksenler üzerinden açıklamayı amaçlar.

TBA'nın geometrik yorumu ve matris cebirindeki diklik özelliği dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

Hiper-elipsoidin asal eksenlerinin yönleri kovaryans matrisinin özvektörleri tarafından belirlenirken, bu eksenlerin merkezden uzaklıkları karşılık gelen özdeğerlerin karekökü (

\sqrt{\lambda_i}

) ile orantılıdır.

Dönüşüm matrisini oluşturan özvektörlerin iç çarpımlarının sıfır olması (

\mathbf{e}_i^T \mathbf{e}_j = 0

), geometrik açıdan eksenlerin dikliğini sağlarken istatistiksel açıdan temel bileşenlerin sıfır korelasyona sahip olmasını garanti eder.

Orijinal değişken matrisinin ortogonal bir dönüşüm matrisiyle çarpılması, uzayda katı (rigid) bir dönme hareketine karşılık gelir ve veri kümesinin toplam varyansını (kovaryans matrisinin izini) değiştirmez.

TBA'da elde edilen bileşenlerin değişkenler üzerindeki yüklerinin (loadings) yorumlanabilirliğini artırmak amacıyla, eksenlere eğik (oblique) döndürme işlemi uygulanarak diklik varsayımı kasten gevşetilir.

Farklı ölçüm birimlerine sahip değişkenlerin analizinde, elipsoidin geometrisinin büyük varyanslı tek bir değişken tarafından domine edilmesini önlemek için diklik dönüşümü korelasyon matrisi üzerinden yapılmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: TBA'da elde edilen bileşenlerin değişkenler üzerindeki yüklerinin (loadings) yorumlanabilirliğini artırmak amacıyla, eksenlere eğik (oblique) döndürme işlemi uygulanarak diklik varsayımı kasten gevşetilir.

Cevap

Temel bileşenlerin yorumlanabilirliğini artırmak amacıyla eksenlere eğik (oblique) döndürme işlemi uygulanarak diklik varsayımının gevşetildiğini savunan ifade yanlıştır.

Temel Bileşenler Analizi'nde (TBA) eksenler kovaryans veya korelasyon matrisinin özvektörlerinden elde edilir ve bu vektörler birbirine tam olarak diktir (ortogonal). Faktör analizinde (AFA) yaygın olan 'yorumlanabilirliği artırmak için eksen döndürme' (özellikle eğik döndürme) işlemi saf TBA'da uygulanmaz. Çünkü herhangi bir döndürme işlemi, bileşenlerin varyansı ardışık olarak maksimize etme özelliğini yok eder ve temel bileşenlerin aralarındaki sıfır korelasyon kuralını (dikliği) bozar.

Adım Adım Çözüm

1

Sorunun Odak Noktasının Belirlenmesi

Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) geometrik ve matris cebiri özellikleriyle çelişen ifadenin bulunması.

Soru, TBA'nın en temel özelliklerinden olan 'ortogonallik' ve veri uzayındaki elipsoidal dönüşüm kavramlarını sınamaktadır.

2

TBA'nın Geometrik Yapısının Analizi

TBA'da veri bulutu bir hiper-elipsoit olarak düşünülür. Özvektörler elipsoidin asal eksenlerini, özdeğerlerin karekökü ise eksenlerin yarıçap uzunluklarını verir. Dönüşüm tam ortogonaldir ve toplam varyans (iz) sabit kalır.

Seçeneklerdeki doğru ifadeleri eleyebilmek için TBA'nın geometrik varsayımlarının doğrulanması gerekir.

3

Döndürme (Rotation) Kavramının Değerlendirilmesi

Ekseni döndürme (dik veya eğik), faktörlerin yorumlanabilirliğini sağlamak için Faktör Analizi'nde kullanılır. Saf TBA'nın amacı varyansı ardışık olarak maksimum yapmaktır ve eksenler daima birbirine dik (ortogonal) kalmak zorundadır.

Faktör analizi ile TBA'nın karıştırılması en yaygın yanılgılardan biridir.

4

Yanlış İfadenin Tespiti

TBA'da diklik varsayımının eğik (oblique) döndürme ile kasten gevşetildiğini iddia eden seçenek tespit edilir.

Bu durum TBA'nın varyans maksimizasyonu kuralını ihlal ettiği için matematiksel olarak yanlıştır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizi'nde Ortogonal Dönüşüm ve Varyans Maksimizasyonu

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 2Soru →

Çok değişkenli bir $X$ rasgele vektörüne ait varyans-kovaryans matrisi $\Sigma$ 'nın özdeğerleri sırasıyla $\lambda_1 = 6$ , $\lambda_2 = 3$ ve $\lambda_3 = 1$ olarak hesaplanmıştır. Bu özdeğerlere karşılık gelen ve birbirine dik olan normalize edilmiş (birim) özvektörler sırasıyla $e_1, e_2$ ve $e_3$ 'tür.

Bir araştırmacı, klasik temel bileşenleri doğrudan kullanmak yerine, orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olan yeni bir $W$ değişkenini aşağıdaki gibi tanımlamıştır:

W = \frac{1}{\sqrt{5}} (2e_1 - e_2)' X

Buna göre, tanımlanan bu yeni $W$ değişkeninin varyansı, veri setindeki toplam varyansın yüzde kaçını açıklamaktadır?

%10

%18

%30

%54

%90

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %54

Cevap

Doğrusal kombinasyonun varyansı karesel form açılarak hesaplandığında 5.4 bulunur ve bu değer toplam varyans olan 10'a bölündüğünde %54 sonucuna ulaşılır.

Toplam varyans özdeğerlerin toplamı olan 10'dur.

W

değişkeninin varyansı

a'\Sigma a

karesel formu kullanılarak hesaplandığında, özvektörlerin diklik özelliğinden dolayı çapraz terimler sıfırlanır ve geriye

\frac{1}{5}(4\lambda_1 + \lambda_2)

kalır. Değerler yerine konduğunda varyans 5.4 çıkar. Bunun toplam varyansa oranı 0.54, yani %54'tür.

Adım Adım Çözüm

1

Veri setindeki toplam varyansı hesaplayın.

Tr(\Sigma) = \lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 6 + 3 + 1 = 10

Bir veri setindeki toplam varyans, kovaryans matrisinin köşegen elemanlarının toplamına (izine) veya eşdeğer olarak özdeğerlerinin toplamına eşittir.

2

W

değişkeninin varyansını ifade eden karesel formu kurun.

Var(W) = Var(a'X) = a'\Sigma a

a'X

şeklinde tanımlanan herhangi bir doğrusal kombinasyonun varyansı, ağırlık vektörü

a

ve kovaryans matrisi

\Sigma

kullanılarak

a'\Sigma a

karesel formu ile bulunur.

3

Ağırlık vektörünü yerine koyarak karesel formu özvektör özellikleri yardımıyla açın.

a'\Sigma a = \left[\frac{1}{\sqrt{5}}(2e_1 - e_2)\right]' \Sigma \left[\frac{1}{\sqrt{5}}(2e_1 - e_2)\right] = \frac{1}{5}(4e_1'\Sigma e_1 - 2e_1'\Sigma e_2 - 2e_2'\Sigma e_1 + e_2'\Sigma e_2)

Varyansı bulmak için matris çarpım kuralları gereği terimler dağıtılmalıdır.

4

Özvektörlerin diklik ve normalize özelliklerini kullanarak denklemi sadeleştirin ve sonucu bulun.

\Sigma e_i = \lambda_i e_i

ve

e_1'e_2=0

olduğundan çapraz çarpımlar sıfırlanır.

Var(W) = \frac{1}{5}(4\lambda_1 + \lambda_2) = \frac{1}{5}(24 + 3) = 5.4

elde edilir.

Farklı özdeğerlere karşılık gelen özvektörler birbirine diktir (

e_i' e_j = 0

) ve aynı özvektörün kendisiyle çarpımı 1'dir (

e_i' e_i = 1

).

5

Bulunan varyansı toplam varyansa oranlayın.

Açıklanan Varyans Oranı =

\frac{5.4}{10} = 0.54

(yani %54)

Soruda istenen, yeni değişkenin varyansının toplam varyans içindeki yüzdelik payıdır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Kombinasyonlarının Varyansı

Alternatif Yöntem

W

'nin normunun

\frac{1}{5}(2^2 + (-1)^2) = 1

olduğu önceden fark edilirse, oluşturulan dönüşüm vektörünün temel bileşenler uzayında rotasyona tabi tutulmuş geçerli bir eksen olduğu görülür. Varyans direkt olarak normalize edilmiş bileşen ağırlıklarının karesiyle özdeğerlerin çarpımı formülüyle

\frac{4}{5}\lambda_1 + \frac{1}{5}\lambda_2

olarak hızla yazılabilir.

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 3Soru →

Bir araştırmacı, farklı birimlerde ölçülmüş (örneğin; yaş, yıllık gelir, vücut ağırlığı vb.) $p=6$ değişkenden oluşan bir veri seti üzerinde Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Araştırmacı analizi kovaryans matrisi üzerinden gerçekleştirmiş ve matrisin özdeğerlerini sırasıyla $\lambda_1 = 540$ , $\lambda_2 = 180$ , $\lambda_3 = 2.4$ , $\lambda_4 = 1.1$ , $\lambda_5 = 0.3$ , $\lambda_6 = 0.2$ olarak hesaplamıştır.

Bileşen sayısına karar verme aşamasında araştırmacı şu adımları izlemiştir:
* Özdeğeri 1'den büyük olan bileşenlerin anlamlı olduğunu öngören Kaiser kriterini baz alarak ilk 4 bileşeni seçmiştir.
* İlk iki bileşenin açıkladığı kümülatif varyans oranını $\frac{540 + 180}{6}$ formülüyle hesaplamıştır.
* Yamaç grafiğinde (Scree plot) 3. özdeğerden sonra belirgin bir kırılma (dirsek) noktası gözlemlemiştir.

Araştırmacının yürüttüğü bu süreç ve kullandığı kriterler değerlendirildiğinde aşağıdakilerden hangisi istatistiksel olarak söylenebilir?

Değişkenlerin farklı birimlerde olması büyük varyanslı değişkenlerin analizde ağırlık kazanmasını gerektirdiğinden kovaryans matrisinin seçilmesi doğrudur; ancak araştırmacının tek hatası, varyans oranını hesaplarken payda kısmına değişken sayısını yazmasıdır.

Temel Bileşenler Analizi'nin asıl amacı değişkenlerin ardındaki gizil (latent) yapıyı ve hata varyansını modellemek olduğundan, araştırmacı bileşen sayısına karar verirken yamaç grafiği ve Kaiser kriterini kullanmak yerine doğrudan döndürülmüş bileşen matrisini yorumlamalıdır.

Farklı birimlerdeki değişkenler için analizin korelasyon matrisi yerine kovaryans matrisiyle yapılması temel bir ölçeklendirme hatasıdır; ayrıca kovaryans matrisi özdeğerlerine Kaiser kriterinin (

\lambda > 1

) uygulanması ve açıklanan varyans hesabında paydanın

p=6

alınması istatistiksel olarak yanlıştır.

Hesaplanan

\lambda_1 = 540

ve

\lambda_2 = 180

değerleri doğrudan ilgili bileşenlerin veri setinde yüzde olarak açıkladığı varyans miktarlarını ifade eder; bu nedenle kümülatif varyans oranını bulmak için özdeğerlerin değişken sayısına (6) bölünmesine gerek yoktur.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Farklı birimlerdeki değişkenler için analizin korelasyon matrisi yerine kovaryans matrisiyle yapılması temel bir ölçeklendirme hatasıdır; ayrıca kovaryans matrisi özdeğerlerine Kaiser kriterinin ( $\lambda > 1$ ) uygulanması ve açıklanan varyans hesabında paydanın $p=6$ alınması istatistiksel olarak yanlıştır.

Cevap

Farklı birimlerdeki değişkenler için analizin korelasyon matrisi yerine kovaryans matrisiyle yapılması ölçeklendirme hatasıdır; ayrıca kovaryans matrisi kullanıldığında Kaiser kriterinin uygulanması ve varyans hesabında paydanın 6 alınması kavramsal olarak yanlıştır.

Temel Bileşenler Analizi'nde değişkenler farklı birimlerle ölçüldüğünde veri mutlaka standardize edilmeli ve korelasyon matrisi kullanılmalıdır. Aksi halde varyansı büyük olan değişkenler analizi domine eder (ölçeklendirme hatası). Korelasyon matrisinin köşegen elemanları daima 1 olduğu için toplam varyans (matrisin izi) değişken sayısına (

p

) eşittir ve ortalama özdeğer 1'dir. Kaiser kriteri (

\lambda > 1

) tam olarak bu matematiksel gerçeğe dayanır ve yalnızca korelasyon matrisi için geçerlidir. Araştırmacının kovaryans matrisi kullanıp Kaiser kriterini uygulaması kavramsal bir hatadır. Ayrıca, varyans açıklama oranı hesaplanırken özdeğer, matrisin izine (tüm özdeğerlerin toplamına) bölünmelidir; kovaryans matrisinde toplam varyans değişken sayısı olan 6'ya eşit değildir.

Adım Adım Çözüm

1

Kullanılan veri seti birimleri ile seçilen matris türünün uyumunu değerlendirmek.

Değişkenler farklı birimlerde olduğundan kovaryans matrisi kullanılması ölçeklendirme hatasına yol açar.

Farklı ölçüm birimlerine sahip değişkenlerin analizde eşit ağırlıkla temsil edilebilmesi için verilerin standardize edilmesi (korelasyon matrisi kullanılması) gerekir. Aksi halde, yıllık gelir gibi varyansı büyük değişkenler analizi domine eder.

2

Kaiser kriterinin (özdeğer > 1) uygulanan matris türüne uygunluğunu test etmek.

Kaiser kriteri kovaryans matrisinde kullanılamaz.

Kaiser kriteri, standardize edilmiş değişkenlerin ortalama özdeğerinin 1 olması mantığına dayanır (korelasyon matrisinde iz

p

'ye eşittir). Kovaryans matrisinde toplam varyans

p

'ye eşit olmadığı için 1 eşik değeri anlamsızdır.

3

Kümülatif açıklanan varyans oranının hesaplanma yöntemini kontrol etmek.

Araştırmacının hesaplamasında kullandığı payda (6) yanlıştır.

Açıklanan varyans oranı, ilgili özdeğerlerin matrisin izine (tüm özdeğerlerin toplamına) bölünmesiyle bulunur. Kovaryans matrisinde iz

p=6

'ya değil, 724'e eşittir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Matris Seçimi ve Bileşen Belirleme Kriterleri Arasındaki Matematiksel İlişkiler

Soru 4Soru →

Korelasyon matrisi kullanılarak 4 değişken ( $X_1, X_2, X_3, X_4$ ) üzerinden gerçekleştirilen bir Temel Bileşenler Analizinde (TBA), ilk iki temel bileşene ( $Y_1$ ve $Y_2$ ) ait özdeğerler sırasıyla $\lambda_1 = 2,25$ ve $\lambda_2 = 1,00$ olarak elde edilmiştir.

Analiz sonucunda, $X_1$ değişkeninin birinci temel bileşen ile olan korelasyonu (birinci temel bileşen yükü) $0,60$ olarak hesaplanmıştır. Ayrıca, $X_1$ değişkeninin ilk iki temel bileşen tarafından açıklanan ortak varyans (communality) değeri $0,85$ 'tir.

Buna göre, $X_1$ değişkeninin birinci temel bileşeni oluşturan doğrusal kombinasyondaki özvektör katsayısı ( $e_{11}$ ) ile ikinci temel bileşen yükünün ( $l_{12}$ ) mutlak değeri sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

0,60

ve

0,70

0,40

ve

0,25

0,40

ve

0,70

0,90

ve

0,49

0,60

ve

0,25

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,40$ ve $0,70$

Cevap

Birinci özvektör katsayısı

0,40

ve ikinci bileşen yükünün mutlak değeri

0,70

olmalıdır.

Temel Bileşenler Analizinde bir değişkenin temel bileşen üzerindeki yükü (

l_{ij}

), ilgili özvektör katsayısı (

e_{ij}

) ile özdeğerin karekökünün (

\sqrt{\lambda_j}

) çarpımına eşittir. Verilen

\lambda_1 = 2,25

ve

l_{11} = 0,60

değerleriyle

e_{11} = 0,60 / \sqrt{2,25} = 0,60 / 1,5 = 0,40

bulunur. Ortak varyans (communality) ise temel bileşen yüklerinin kareleri toplamıdır. Formüle göre

h_1^2 = l_{11}^2 + l_{12}^2 \implies 0,85 = (0,60)^2 + l_{12}^2 \implies l_{12}^2 = 0,85 - 0,36 = 0,49

olur. Buradan ikinci bileşen yükünün mutlak değeri

\sqrt{0,49} = 0,70

olarak hesaplanır. Dolayısıyla her iki değer de sorunun kurgusuna eksiksiz uymaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Özdeğerin karekökünü alma

\sqrt{\lambda_1} = \sqrt{2,25} = 1,5

Özvektör katsayısı ile yük arasındaki matematiksel dönüşüm için temel bileşen varyansının standart sapma değerine (özdeğerin kareköküne) ihtiyaç vardır.

2

Birinci özvektör katsayısını hesaplama

e_{11} = l_{11} / \sqrt{\lambda_1} = 0,60 / 1,5 = 0,40

Temel bileşen yükü, orijinal değişkenin bileşendeki ağırlığını gösteren özvektör katsayısı ile özdeğerin karekökünün çarpımına eşittir (

l_{ij} = e_{ij}\sqrt{\lambda_j}

).

3

Birinci temel bileşen yükünün karesini alma

l_{11}^2 = (0,60)^2 = 0,36

Bir değişkenin ortak varyansı hesaplanırken, temel bileşen yüklerinin doğrusal toplamı değil, karelerinin toplamı kullanılır.

4

İkinci temel bileşen yükünü hesaplama

l_{12}^2 = h_1^2 - l_{11}^2 = 0,85 - 0,36 = 0,49 \implies |l_{12}| = \sqrt{0,49} = 0,70

İlk iki bileşenin açıkladığı toplam varyanstan birinci bileşenin payı çıkarılarak ikinci bileşenin yükünün karesi ve ardından kendisi bulunur.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Yükü ile Özvektör Katsayısı İlişkisi ve Ortak Varyans (Communality) Hesabı

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 5Soru →

Bir pazar araştırmasında, üç değişkenli ( $X_1, X_2, X_3$ ) bir veri seti için örneklem kovaryans matrisine dayalı Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmıştır. Analiz sonucunda elde edilen özdeğerler sırasıyla $\lambda_1 = 50$ , $\lambda_2 = 18$ ve $\lambda_3 = 7$ olarak bulunmuştur.

Orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olan ikinci temel bileşen (

Y_2

) aşağıdaki gibi tanımlanmıştır:

Y_2 = \frac{2}{7} X_1 + a_{22} X_2 + \frac{6}{7} X_3

Temel bileşen katsayılarının (özvektör elemanlarının) normalize edildiği (kareleri toplamının 1'e eşit olduğu) bilinmektedir.

Buna göre, ikinci temel bileşenin varyansı ( $Var(Y_2)$ ) ve $a_{22}$ katsayısının alabileceği pozitif değer aşağıdakilerin hangisinde sırasıyla verilmiştir?

50

ve

\frac{3}{7}

18

ve

\frac{9}{49}

18

ve

\frac{3}{7}

0,24

ve

\frac{3}{7}

75

ve

\frac{9}{49}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $18$ ve $\frac{3}{7}$

Cevap

İkinci temel bileşenin varyansı 18, bilinmeyen katsayının pozitif değeri ise 3/7'dir.

Temel Bileşenler Analizinde

i

-inci bileşenin varyansı doğrudan

i

-inci özdeğere (

\lambda_i

) eşittir, bu nedenle

Var(Y_2) = \lambda_2 = 18

'dir. Katsayılar (özvektör) ise kareleri toplamı 1 olacak şekilde normalize edilir:

(2/7)^2 + a_{22}^2 + (6/7)^2 = 1

. Buradan

4/49 + 36/49 = 40/49

bulunur ve

a_{22}^2 = 1 - 40/49 = 9/49

kalır. Sayının pozitif değeri istendiğinden

a_{22} = 3/7

doğru yanıttır.

Adım Adım Çözüm

1

İkinci temel bileşenin varyansını belirleme

Var(Y_2) = \lambda_2 = 18

bulunur.

Kovaryans matrisi üzerinden yapılan Temel Bileşenler Analizinde,

i

-inci temel bileşenin varyansı doğrudan kendi özdeğerine (

\lambda_i

) eşittir.

2

Özvektör normallik (birim uzunluk) şartını yazma

(\frac{2}{7})^2 + a_{22}^2 + (\frac{6}{7})^2 = 1

denklemi kurulur.

Temel bileşen katsayıları (özvektör elemanları), normu 1 olacak şekilde normalize edilir. Bu, doğrusal kombinasyonun katsayılarının kareleri toplamının 1 olması gerektiği anlamına gelir.

3

Bilinmeyen katsayıyı hesaplama

\frac{4}{49} + a_{22}^2 + \frac{36}{49} = 1 \implies a_{22}^2 + \frac{40}{49} = 1 \implies a_{22}^2 = \frac{9}{49} \implies a_{22} = \frac{3}{7}

elde edilir.

Denklem çözülerek soruda istenilen katsayının pozitif değeri elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel bileşenlerin varyansının özdeğerlere eşitliği ve özvektörlerin normalize (birim uzunluğa sahip) olma koşulu.

Soru 6Soru →

Tarımsal rekolte tahmin modellemesi kapsamında, toprak kalitesini yansıtan $Z_1, Z_2$ ve $Z_3$ bağımsız değişkenleri ölçülerek bir örneklem kovaryans matrisi oluşturulmuştur. Bu matris üzerinden gerçekleştirilen Temel Bileşenler Analizi (TBA) sonucunda, sisteme ait özdeğerler büyükten küçüğe doğru $\lambda_1 = 36$ , $\lambda_2 = 24$ ve $\lambda_3 = 21$ şeklinde elde edilmiştir.

Analizin ardından, veri setindeki değişimi en yüksek oranda açıklayan birinci temel bileşen denklemi aşağıdaki gibi doğrusal bir fonksiyonla ifade edilmiştir:

Y_1 = \frac{4}{9} Z_1 - \frac{4}{9} Z_2 + c Z_3

Buna göre, $Y_1$ temel bileşeninin varyansı ve $c$ katsayısının alabileceği pozitif değer sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

81

ve

\frac{7}{9}

36

ve

\frac{1}{9}

36

ve

\frac{7}{9}

\frac{4}{9}

ve

\frac{7}{9}

36

ve

\frac{49}{81}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $36$ ve $\frac{7}{9}$

Cevap

Birinci temel bileşenin varyansı

36

'dır ve

c

katsayısının pozitif değeri

7/9

'dur.

Temel Bileşenler Analizinde birinci temel bileşenin varyansı daima en büyük özdeğere eşittir; dolayısıyla varyans

36

'dır. Temel bileşeni oluşturan katsayılar vektörü ise birim norm özelliğine sahiptir. Verilen katsayıların kareleri toplamı

1

olmalıdır. Denklem çözüldüğünde

(\frac{4}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + c^2 = 1

eşitliğinden

c^2 = \frac{49}{81}

ve pozitif

c

katsayısı

\frac{7}{9}

olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci temel bileşenin varyansını belirleme.

Var(Y_1) = \lambda_1 = 36

TBA'da herhangi bir

i

. temel bileşenin varyansı, doğrudan o bileşene karşılık gelen kovaryans matrisinin

i

. en büyük özdeğerine eşittir.

2

Temel bileşen katsayı vektörünün norm özelliğini kurma.

e_{11}^2 + e_{12}^2 + e_{13}^2 = 1

Temel bileşen katsayıları, toplam varyansı maksimize ederken birim uzunluk (ortogonalite) kısıtına uymak zorundadır; bu nedenle özvektör elemanlarının kareleri toplamı daima 1'e eşitlenir.

3

Verilen katsayıları norm denkleminde yerine koyma.

(\frac{4}{9})^2 + (-\frac{4}{9})^2 + c^2 = 1 \implies \frac{16}{81} + \frac{16}{81} + c^2 = 1

Z_1

ve

Z_2

değişkenlerinin bilinen katsayıları denkleme yerleştirilerek bilinmeyen

c

parametresi için eşitlik oluşturulur.

4

Oluşturulan denklemi çözerek

c^2

değerini bulma.

\frac{32}{81} + c^2 = 1 \implies c^2 = 1 - \frac{32}{81} = \frac{49}{81}

Bilinen değerler eşitliğin karşı tarafına atılarak cebirsel işlemler tamamlanır.

5

Pozitif

c

katsayısını elde etme.

c = \sqrt{\frac{49}{81}} = \frac{7}{9}

Soruda

c

katsayısının pozitif değeri istendiği için elde edilen sonucun pozitif karekökü alınır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Varyansı ve Özvektör Standardizasyonu

Soru 7Soru →

Bir araştırmacı, ölçüm birimleri birbirinden farklı olan 3 değişkenli bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Değişkenlerin birim farklılıklarından etkilenmemek amacıyla analiz korelasyon matrisi üzerinden gerçekleştirilmiştir.

Analiz sonucunda elde edilen birinci temel bileşene ait özvektör (

e_1

) ve bu bileşenin özdeğeri (

\lambda_1

) sırasıyla aşağıda verilmiştir:

e_1 = \begin{bmatrix} 2/3 \\ -1/3 \\ 2/3 \end{bmatrix}, \quad \lambda_1 = 2

Veri setindeki değişkenlere ait ortalama (

\mu

) ve standart sapma (

\sigma

) vektörleri şu şekildedir:

\mu = \begin{bmatrix} 12 \\ 15 \\ 6 \end{bmatrix}, \quad \sigma = \begin{bmatrix} 2 \\ 4 \\ 3 \end{bmatrix}

Buna göre, orijinal gözlem değerleri vektörü $X = \begin{bmatrix} 18 \\ 3 \\ 15 \end{bmatrix}$ olan bir birimin birinci temel bileşen skoru aşağıdakilerden hangisidir?

3

5

10

14

21

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 5

Cevap

Birinci temel bileşen skoru 5'tir.

Temel Bileşenler Analizi korelasyon matrisi üzerinden uygulandığında, temel bileşen skorları standartlaştırılmış Z değişkenlerinin doğrusal kombinasyonları olarak elde edilir.

Z = \frac{X - \mu}{\sigma}

formülüyle bulunan

Z = \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix}

değerleri,

e_1

özvektörü ile iç çarpıma sokulduğunda

\left(\frac{2}{3} \times 3\right) + \left(-\frac{1}{3} \times -3\right) + \left(\frac{2}{3} \times 3\right) = 5

skoru elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Orijinal X gözlem değerlerini, verilen ortalama ve standart sapma değerlerini kullanarak standartlaştırılmış Z değerlerine dönüştürün.

z_1 = \frac{18 - 12}{2} = 3

,

z_2 = \frac{3 - 15}{4} = -3

,

z_3 = \frac{15 - 6}{3} = 3

. Böylece

Z = \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix}

elde edilir.

Analiz korelasyon matrisi üzerinden yapıldığı için değişkenlerin birim farklılıklarından arındırılması (standartlaştırılması) zorunludur.

2

Elde edilen standartlaştırılmış Z vektörünü, birinci temel bileşenin özvektörü (

e_1

) ile çarparak skoru hesaplayın.

Y_1 = \left(\frac{2}{3} \times 3\right) + \left(-\frac{1}{3} \times -3\right) + \left(\frac{2}{3} \times 3\right) = 2 + 1 + 2 = 5

.

Temel bileşen skorları, standartlaştırılmış değişkenlerin özvektör katsayıları ile oluşturulan doğrusal kombinasyonlarıdır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Skorlarının (Korelasyon Matrisi Üzerinden) Hesaplanması

Soru 8Soru →

Bir araştırmacı, $5$ farklı değişkenden ( $p = 5$ ) oluşan ve değişkenlerin her birinin farklı ölçüm birimlerine sahip olduğu bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Değişkenlerin ölçüm birimleri farklı olduğu için analiz korelasyon matrisi üzerinden gerçekleştirilmiştir.

Analiz sonucunda elde edilen ilk üç temel bileşenin özdeğerleri sırasıyla aşağıda verilmiştir:
- $\lambda_1 = 1.80$
- $\lambda_2 = 1.20$
- $\lambda_3 = 0.75$

Buna göre, Kaiser kriteri (özdeğeri $1$ 'den büyük olan bileşenlerin seçilmesi) kullanıldığında, seçilen temel bileşenlerin veri setindeki toplam varyansın yüzde kaçını açıkladığı aşağıdakilerden hangisidir?

%30

%36

%60

%75

%80

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %60

Cevap

Kaiser kriterine göre seçilen ilk iki bileşenin açıkladığı kümülatif varyans oranı %60'tır.

Korelasyon matrisi üzerinden uygulanan Temel Bileşenler Analizinde toplam varyans, analiz edilen değişken sayısına (

p

) eşittir. Veri setinde

5

değişken bulunduğu için toplam varyans

5.00

'tir. Kaiser kriterine göre özdeğeri

1

'den büyük olan

\lambda_1 = 1.80

ve

\lambda_2 = 1.20

değerlerine sahip iki temel bileşen seçilir. Bu iki bileşenin açıkladığı varyans toplamı

1.80 + 1.20 = 3.00

'tür. Birikimli açıklanan varyans oranı, bu toplamın genel toplam varyansa bölünmesiyle bulunur:

3.00 / 5.00 = 0.60

, yani

\%60

.

Adım Adım Çözüm

1

Korelasyon matrisi üzerinden yapılan TBA'da matrisin izini (toplam varyansı) belirleme.

Toplam Varyans =

p = 5.00

Korelasyon matrisinin asal köşegenindeki elemanların her biri

1

olduğu için matrisin izi değişken sayısına (

p

) eşittir.

2

Kaiser kriterine uygun temel bileşenleri seçme.

\lambda_1 = 1.80

ve

\lambda_2 = 1.20

seçilir.

Kaiser kriterine göre yalnızca özdeğeri

1

'den büyük olan temel bileşenler anlamlı kabul edilir (

\lambda_3 = 0.75

elenir).

3

Seçilen bileşenlerin özdeğerlerini toplayarak açıklanan varyans miktarını hesaplama.

1.80 + 1.20 = 3.00

Birikimli varyans oranının pay kısmını oluşturmak için seçilen bileşenlerin taşıdığı bilgi miktarı (özdeğerler) toplanır.

4

Birikimli açıklanan varyans oranını hesaplama.

3.00 / 5.00 = 0.60

(yani

\%60

)

Seçilen temel bileşenlerin açıkladığı varyansın, veri setindeki toplam varyansa bölünmesi gerekmektedir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Özdeğerler, Matris İzi ve Açıklanan Varyans Oranı

Soru 9Soru →

Bir araştırmacı, farklı ölçüm birimlerine sahip (TL, yıl, yüzde vb.) 15 değişken içeren bir sosyoekonomik veri setinin boyutunu indirgemek amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamak istemektedir.

TBA'nın temel amacı ve istatistiksel varsayımları dikkate alındığında, bu analiz sürecinde uygulanması gereken en doğru yaklaşım ve veri setinin sağlaması beklenen temel özellik aşağıdakilerden hangisidir?

Değişkenlerin farklı birimlerde ölçülmesinden kaynaklanan varyans büyüklüğü etkisini gidermek için analiz korelasyon matrisi üzerinden yapılmalı ve orijinal değişkenler arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki bulunmalıdır.

Varyansı en yüksek olan değişkenlerin oluşturulacak bileşenlere en büyük katkıyı sağlaması istendiğinden analiz doğrudan kovaryans matrisi üzerinden yürütülmelidir.

Veri setindeki toplam varyans yerine yalnızca değişkenler arasındaki ortak varyans (communality) dikkate alınarak değişkenlerin gerisinde yatan gizil (latent) faktörler ortaya çıkarılmalıdır.

Orijinal değişkenlerin birbirinden tamamen bağımsız olduğunu ve boyut indirgemeye uygunluğunu kanıtlamak için Bartlett Küresellik Testi sonucunun anlamsız (

p > 0.05

) çıkması gerekmektedir.

Açıklanan varyans oranı, hesaplanan her bir özdeğerin doğrudan bir yüzde değeri olarak kabul edilmesiyle belirlenmeli ve analiz sonucunda birikimli varyans yorumlanmalıdır.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Değişkenlerin farklı birimlerde ölçülmesinden kaynaklanan varyans büyüklüğü etkisini gidermek için analiz korelasyon matrisi üzerinden yapılmalı ve orijinal değişkenler arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişki bulunmalıdır.

Cevap

Analizin korelasyon matrisi üzerinden yürütülmesi ve orijinal değişkenler arasında istatistiksel olarak anlamlı bir ilişkinin bulunması gerekliliğini ifade eden seçenek doğru cevaptır.

Temel Bileşenler Analizinin (TBA) en temel koşullarından biri, analize girecek değişkenler arasında anlamlı bir korelasyon (ilişki) bulunmasıdır; aksi takdirde boyut indirgeme işlemi gerçekleşemez. Ayrıca, veri setindeki değişkenler farklı ölçüm birimlerine sahip olduğunda, salt sayısal büyüklüğü ve varyansı geniş olan değişkenlerin analizi tek başına yönlendirmesini (domine etmesini) engellemek adına veriler standartlaştırılmalı, yani analiz kovaryans matrisi yerine korelasyon matrisi üzerinden gerçekleştirilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

TBA'nın amacını ve bu senaryodaki veri setinin yapısını analiz et.

Veri setinde TL, yıl, yüzde gibi farklı ölçüm birimleri bulunmaktadır.

Değişkenlerin birimlerinin ve varyans büyüklüklerinin farklı olması, analizde kullanılacak matris türünü (kovaryans veya korelasyon) belirler.

2

Matris seçiminin etkilerini değerlendir.

Farklı birimlerde ölçülen değişkenler için kovaryans matrisi kullanılırsa, varyansı büyük olan değişken analizi domine eder. Bu nedenle değişkenlerin standartlaştırılması (korelasyon matrisi kullanılması) gerekir.

Boyut indirgeme işleminin her bir değişkeni adil bir şekilde temsil edebilmesi için ölçeklendirme zorunludur.

3

TBA'nın temel istatistiksel varsayımını belirle.

TBA'nın temel mantığı, birbiriyle yüksek korelasyona sahip değişkenleri birleştirerek yeni bileşenler oluşturmaktır. Değişkenler bağımsızsa boyut indirgenemez.

Boyut indirgemenin matematiksel olarak anlamlı sonuç verebilmesi için başlangıç korelasyon matrisinin birim matristen istatistiksel olarak farklı olması (Bartlett testinin anlamlı çıkması) şarttır.

Anahtar Kavram

TBA'da Matris Seçimi ve Korelasyon Varsayımı

Soru 10Soru →

Bir araştırmacı, 3 değişkene ait bir veri seti üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Bu analizde kullanılan $3 \times 3$ boyutlu varyans-kovaryans matrisinin izi (trace) 10, determinantı ise 24 olarak hesaplanmıştır. Elde edilen özvektörlerin birbirine dik (ortogonal) ve birim uzunlukta olduğu bu analizde, matrisin en büyük özdeğeri $\lambda_1 = 6$ olarak bulunmuştur.

Buna göre, matrisin en küçük özdeğeri ( $\lambda_3$ ) ve birinci temel bileşenin toplam varyansı açıklama oranı sırasıyla aşağıdakilerin hangisinde doğru verilmiştir?
(Özdeğerlerin $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \lambda_3$ şeklinde sıralandığı varsayılacaktır.)

4 ve %60

2 ve %25

2 ve %60

4 ve %25

2 ve %20

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 2 ve %60

Cevap

Matrisin en küçük özdeğeri 2 ve birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranı %60'tır.

Varyans-kovaryans matrisinin izi (trace), özdeğerlerin toplamına eşittir ve analizdeki toplam varyansı ifade eder (

10 = 6 + \lambda_2 + \lambda_3

). Matrisin determinantı ise özdeğerlerin çarpımına eşittir (

24 = 6 \times \lambda_2 \times \lambda_3

). Bu denklemlerden

\lambda_2 + \lambda_3 = 4

ve

\lambda_2 \times \lambda_3 = 4

bulunur. Bu eşitlikleri sağlayan tek durum

\lambda_2 = 2

ve

\lambda_3 = 2

olmasıdır, dolayısıyla en küçük özdeğer 2'dir. Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranı, en büyük özdeğerin (

\lambda_1 = 6

) toplam varyansa (iz = 10) bölünmesiyle hesaplanır:

6 / 10 = 0,60

(%60).

Adım Adım Çözüm

1

Matrisin izini ve determinantını kullanarak kalan özdeğerlerin toplamını ve çarpımını belirlemek.

\lambda_2 + \lambda_3 = 4

ve

\lambda_2 \times \lambda_3 = 4

Özdeğerlerin toplamı matrisin izine (10), çarpımı ise matrisin determinantına (24) eşittir.

\lambda_1 = 6

olduğu için geriye kalanların toplamı

10 - 6 = 4

, çarpımı ise

24 / 6 = 4

olur.

2

Bulunan denklemlerden en küçük özdeğeri hesaplamak.

\lambda_3 = 2

Toplamları 4 ve çarpımları 4 olan iki sayı ancak 2 ve 2'dir. Bu nedenle

\lambda_2 = 2

ve

\lambda_3 = 2

olur.

3

Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranını bulmak.

%60

Bir bileşenin açıkladığı varyans oranı, kendi özdeğerinin toplam varyansa (matrisin izine) bölünmesiyle elde edilir:

6 / 10 = 0,60

(%60).

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde matris izinin (toplam varyans) ve determinantının özdeğerlerle ilişkisi

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 11Soru →

Kamu sektöründe çalışan bir veri analisti, personel performansını değerlendirmek amacıyla $6$ farklı kriteri içeren bir veri setini incelemektedir. Analist, değişkenler arası ölçek farklılıklarını gidermek için korelasyon matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) gerçekleştirmiştir. Analiz sonucunda matrisin özdeğerleri (eigenvalues) büyükten küçüğe doğru sırasıyla $2.70$ , $1.50$ , $0.90$ , $0.50$ , $0.30$ ve $0.10$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, elde edilen ilk iki temel bileşenin veri setindeki toplam varyansı açıklama oranı yüzde kaçtır?

42

45

70

75

85

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 70

Cevap

İlk iki temel bileşenin açıkladığı toplam varyans oranı %70'tir.

Temel Bileşenler Analizi korelasyon matrisi üzerinden gerçekleştirildiğinde, toplam varyans daima analizdeki değişken sayısına (p=6) eşittir. Bu değer, aynı zamanda matrisin izi olup tüm özdeğerlerin toplamı (2.70 + 1.50 + 0.90 + 0.50 + 0.30 + 0.10 = 6.00) ile elde edilir. Soruda ilk iki temel bileşenin açıkladığı varyans oranı istenmektedir. Bu nedenle, ilk iki özdeğer toplanır (2.70 + 1.50 = 4.20) ve ardından elde edilen bu değer toplam varyansa bölünerek oran hesaplanır (4.20 / 6.00 = 0.70). Bu oranın yüzdelik karşılığı %70'tir.

Adım Adım Çözüm

1

Korelasyon matrisinin izini (toplam varyansı) belirlemek.

Toplam varyans = 6.00

Korelasyon matrisi kullanıldığında, köşegen üzerindeki elemanlar 1 olduğu için matrisin izi (toplam varyans) değişken sayısına (p=6) eşittir. Aynı zamanda tüm özdeğerlerin toplamı da her zaman matrisin izini verir: 2.70 + 1.50 + 0.90 + 0.50 + 0.30 + 0.10 = 6.00.

2

İlk iki temel bileşenin açıkladığı varyans miktarını hesaplamak.

2.70 + 1.50 = 4.20

İlk iki temel bileşenin veri setinde açıkladığı varyans miktarı, bunlara karşılık gelen en büyük iki özdeğerin toplamıdır.

3

Birikimli varyans açıklama oranını hesaplamak.

(4.20 / 6.00) * 100 = %70

İlk iki bileşenin özdeğer toplamı, korelasyon matrisinin izine (toplam varyansa) oranlanarak kümülatif açıklanan varyans yüzdesi bulunur.

Anahtar Kavram

Temel bileşenler analizinde korelasyon matrisi kullanıldığında toplam varyansın değişken sayısına (matrisin izine) eşit olması ve açıklanan varyans oranının ilgili özdeğerler toplamının bu değere bölünerek bulunması.

Soru 12Soru →

Bir çevre araştırmacısı, 4 farklı su kalitesi göstergesinden ( $X_1, X_2, X_3, X_4$ ) oluşan bir veri setine kovaryans matrisi üzerinden Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Elde edilen ilk iki özdeğer sırasıyla $\lambda_1 = 15$ ve $\lambda_2 = 8$ olarak bulunmuştur.

Birinci temel bileşene ait normalize edilmiş (uzunluğu 1 olan) katsayılar vektörü (özvektör) aşağıdaki gibi hesaplanmıştır:

\mathbf{e}_1 = \begin{bmatrix} 0{}5 \\ -0{}5 \\ 0{}5 \\ 0{}5 \end{bmatrix}

Araştırmacı, su kalitesini tek bir skorla özetlemek amacıyla orijinal değişkenlerin doğrusal bir kombinasyonu olan aşağıdaki

W

indeksini tanımlamıştır:

W = X_1 - X_2 + X_3 + X_4

Buna göre, oluşturulan $W$ indeksinin varyansı ( $Var(W)$ ) kaçtır?

15

30

60

32

8

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 60

Cevap

Doğru yanıt 60'tır. Doğrusal kombinasyon olan W indeksi, birinci temel bileşenin tam 2 katı olduğundan, varyansı birinci özdeğerin karesel çarpanı ile (4 katı) hesaplanır.

W indeksinin katsayıları olan

[1, -1, 1, 1]

vektörü, birinci temel bileşene ait normalize

\mathbf{e}_1

özvektörünün

[0{}5, -0{}5, 0{}5, 0{}5]

tam 2 katıdır. Yani

W = 2Y_1

'dir. Bir değişkeni bir sabitle çarptığımızda varyansı, o sabitin karesi oranında artar. Bu kural uyarınca

Var(W) = 2^2 \times Var(Y_1)

olur. Temel bileşenler analizinde birinci temel bileşenin varyansı ilk özdeğere (

\lambda_1

) eşittir. Dolayısıyla varyans

4 \times 15 = 60

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Birinci temel bileşenin (Y₁) doğrusal formülünü ve varyansını belirleme.

Y_1 = 0{}5X_1 - 0{}5X_2 + 0{}5X_3 + 0{}5X_4

ve

Var(Y_1) = \lambda_1 = 15

.

Temel bileşenler, orijinal değişkenlerin ilgili özvektör katsayılarıyla çarpılıp toplanmasıyla elde edilir ve varyansları doğrudan ait oldukları özdeğere eşittir.

2

İstenilen W indeksi ile birinci temel bileşen Y₁ arasındaki matematiksel ilişkiyi kurma.

W = X_1 - X_2 + X_3 + X_4 = 2(0{}5X_1 - 0{}5X_2 + 0{}5X_3 + 0{}5X_4) = 2Y_1

.

W indeksinin katsayılar vektörü

[1, -1, 1, 1]^T

, birinci temel bileşene ait olan

\mathbf{e}_1

özvektörünün tam 2 katıdır.

3

Varyansın ölçekleme (scaling) özelliğini kullanarak Var(W) değerini hesaplama.

Var(W) = Var(2Y_1) = 2^2 \times Var(Y_1) = 4 \times 15 = 60

.

Varyansın kurallarına göre, bir rastgele değişkenin bir

c

sabiti ile çarpımının varyansı, o sabitin karesi (

c^2

) ile orijinal varyansın çarpımına eşittir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşen Katsayıları ve Varyans Özellikleri

Alternatif Yöntem

Varyans doğrudan matris formatında da ifade edilebilir:

Var(W) = \mathbf{a}' \Sigma \mathbf{a}

. Burada

\mathbf{a} = [1, -1, 1, 1]^T

vektörüdür. Covaryans matrisi

\Sigma

'nın tüm elemanları bilinmediğinden,

\mathbf{a}

vektörünün

\mathbf{e}_1

'in skaler bir katı (

2\mathbf{e}_1

) olduğu fark edilip,

Var(W) = (2\mathbf{e}_1)' \Sigma (2\mathbf{e}_1) = 4 \mathbf{e}_1' \Sigma \mathbf{e}_1 = 4 \lambda_1

özelliği kullanılmalıdır.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 13Soru →

Bir araştırmacı; bireylerin yıllık gelirleri (TL), yaşları (yıl), eğitim süreleri (yıl) ve günlük internet kullanım süreleri (saat) gibi farklı ölçü birimlerine ve çok farklı varyans büyüklüklerine sahip değişkenlerin yer aldığı bir veri seti üzerinde Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamak istemektedir. Araştırmacı, değişkenleri standartlaştırmadan analizde korelasyon matrisi yerine doğrudan kovaryans matrisini kullanmıştır.

Bu durumun analizin sonuçları üzerinde yaratacağı en olası etki aşağıdakilerden hangisidir?

Varyansı diğerlerine göre çok daha yüksek olan değişkenin, ilk temel bileşeni büyük oranda domine etmesi ve diğer değişkenlerin etkisinin gölgelenmesi

Kovaryans matrisi kullanımıyla değişkenlerin analiz öncesinde otomatik standartlaşarak tüm ölçek farklılıklarının giderilmesi

Elde edilen özdeğerlerin doğrudan yüzde ifade ederek matrisin izine bölünmesine gerek kalmadan açıklanan varyansı vermesi

Modele dahil edilen hata terimleri sayesinde değişkenler arasındaki gizil (latent) faktörlerin daha net ortaya çıkarılması

Temel bileşen eksenlerinin birbirleriyle yüksek düzeyde ilişkili hale gelerek diklik (ortogonallik) varsayımının bozulması

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Varyansı diğerlerine göre çok daha yüksek olan değişkenin, ilk temel bileşeni büyük oranda domine etmesi ve diğer değişkenlerin etkisinin gölgelenmesi

Cevap

Varyansı diğerlerine göre çok daha yüksek olan değişkenin, ilk temel bileşeni büyük oranda domine etmesi ve diğer değişkenlerin etkisinin gölgelenmesi

Temel Bileşenler Analizinde (TBA) kovaryans matrisi kullanıldığında, orijinal değişkenlerin varyansları ve ölçüm birimleri doğrudan hesaba katılır. Yıllık gelir (binlerle ifade edilen) gibi varyansı çok büyük olan bir değişken ile eğitim süresi (tek haneli sayılarla ifade edilen) gibi varyansı küçük olan değişkenler aynı modelde analiz edildiğinde, toplam varyansın ezici bir çoğunluğu gelir değişkeninden kaynaklanır. TBA'nın temel amacı toplam varyansı en yüksek oranda açıklayan bileşenleri elde etmek olduğundan, ilk temel bileşen neredeyse tamamen varyansı en büyük olan değişkenden oluşur ve diğer değişkenlerin yapısı gölgelenir. Ölçek farklılıklarından kaynaklanan bu yanıltıcı etkiyi önlemek ve tüm değişkenlere başlangıçta eşit şans tanımak için değişkenlerin standartlaştırıldığı korelasyon matrisi tercih edilmelidir.

Adım Adım Çözüm

1

Soru metnindeki veri setinin özelliklerini analiz et.

Veri setinde TL, yıl, saat gibi farklı ölçü birimleri ve dolayısıyla birbirinden çok farklı varyans büyüklüklerine sahip değişkenler bulunmaktadır.

Değişkenlerin ölçek yapısı, kullanılacak matris seçimini doğrudan belirler.

2

TBA'da kovaryans ve korelasyon matrislerinin işlevlerini karşılaştır.

Kovaryans matrisi verilerin orijinal varyanslarını olduğu gibi korurken, korelasyon matrisi tüm değişkenleri standartlaştırarak varyanslarını 1'e eşitler.

Hangi matrisin seçildiğinin analize matematiksel etkisini saptamak için bu ayrım kritik önem taşır.

3

Farklı varyansların kovaryans matrisi üzerinden TBA'ya etkisini değerlendir.

TBA toplam varyansı maksimize etmeye çalıştığı için, varyansı en büyük olan değişken (örneğin yıllık gelir) ilk temel bileşenin özvektör katsayılarını tek başına belirleyecektir.

Toplam varyansın çoğunluğu büyük ölçekli değişkenden geldiği için, analiz boyutsal indirgeme yaparken küçük varyanslı değişkenleri (yaş, eğitim) göz ardı eder.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Ölçek Etkisi ve Matris Seçimi

Soru 14Soru →

Bir kamu kurumu, personel performansını değerlendirmek amacıyla $3$ farklı kriterden oluşan bir ölçek geliştirmiş ve bu kriterler arasındaki ilişkilerin boyutunu indirgemek için Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaya karar vermiştir. Kriterlerin farklı metriklerle ölçülmüş olması nedeniyle, analiz doğrudan standartlaştırılmış değişkenler (korelasyon matrisi) üzerinden yürütülmüştür.

Yapılan hesaplamalar sonucunda, sisteme ait korelasyon matrisinin determinantının $0.576$ olduğu bulunmuştur. Analiz raporunda, birinci temel bileşenin verideki toplam varyansın $\%60$ 'ını tek başına açıkladığı belirtilmektedir.

Verilen bu bilgilere göre, elde edilecek ikinci temel bileşenin özdeğeri ( $\lambda_2$ ) kaçtır?

(Not: Özdeğerlerin büyüklük sırasına göre $\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3$ şeklinde modellendiği dikkate alınacaktır.)

0.8

0.6

1.8

1.2

0.32

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0.8$

Cevap

İkinci temel bileşenin özdeğeri

0.8

'dir.

Temel Bileşenler Analizi (TBA) korelasyon matrisi üzerinden yapıldığında, matrisin izi (toplam varyans) analize giren değişken sayısına (

p

) eşittir. Bu soruda

3

kriter olduğu için toplam varyans

3

'tür ve özdeğerlerin toplamı

\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 3

olmak zorundadır. Birinci temel bileşen toplam varyansın

\%60

'ını açıkladığına göre, birinci özdeğer

\lambda_1 = 3 \times 0.60 = 1.8

bulunur. Özdeğerlerin matris cebirindeki en önemli özelliklerinden biri, özdeğerler çarpımının matrisin determinantına eşit olmasıdır (

\lambda_1 \times \lambda_2 \times \lambda_3 = |R|

). Soruda determinant

0.576

olarak verilmiştir. Buradan

1.8 \times \lambda_2 \times \lambda_3 = 0.576

eşitliği kurularak

\lambda_2 \times \lambda_3 = 0.32

bulunur. Toplamları

\lambda_2 + \lambda_3 = 3 - 1.8 = 1.2

ve çarpımları

0.32

olan iki sayı

0.8

ve

0.4

'tür. Özdeğerler büyüklük sırasına dizildiğinden (

\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3

), ikinci temel bileşenin özdeğeri büyük olan kök yani

0.8

olmak zorundadır.

Adım Adım Çözüm

1

Korelasyon matrisinin toplam varyansını (izini) belirleme.

Değişken sayısı

p = 3

olduğundan, korelasyon matrisinin ana köşegenindeki elemanların toplamı (iz)

3

'tür. Dolayısıyla

\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 3

olur.

Korelasyon matrisinde her bir standartlaştırılmış değişkenin varyansı 1'dir. Temel Bileşenler Analizinde özdeğerlerin toplamı her zaman matrisin izine eşittir.

2

Birinci temel bileşenin özdeğerini (

\lambda_1

) hesaplama.

Birinci bileşen toplam varyansın

\%60

'ını açıkladığı için:

\lambda_1 = 3 \times 0.60 = 1.8

olarak hesaplanır.

Bir bileşenin açıkladığı varyans oranı, o bileşenin özdeğerinin toplam varyansa (ize) bölünmesiyle bulunur.

3

Kalan iki özdeğerin toplamını ve çarpımını bulma.

Toplam özelliği:

\lambda_2 + \lambda_3 = 3 - 1.8 = 1.2

. Çarpım özelliği: Özdeğerler çarpımı matrisin determinantına eşit olduğundan (

\prod \lambda_i = |R|

),

1.8 \times \lambda_2 \times \lambda_3 = 0.576

eşitliğinden

\lambda_2 \times \lambda_3 = 0.32

elde edilir.

Bir matrisin özdeğerlerinin çarpımının matrisin determinantına eşit olduğu kuralı kullanılarak iki bilinmeyenli bir denklem sistemi oluşturulur.

4

İkinci temel bileşenin özdeğerini (

\lambda_2

) denklem sistemini çözerek belirleme.

Toplamı

1.2

ve çarpımı

0.32

olan sayılar

x^2 - 1.2x + 0.32 = 0

denkleminin kökleri olan

0.8

ve

0.4

'tür.

\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3

koşulu gereği

\lambda_2 = 0.8

ve

\lambda_3 = 0.4

olur.

Bileşenler varyansı açıklama güçlerine göre büyükten küçüğe sıralandığı için daha büyük olan kök ikinci bileşenin özdeğeri olarak atanır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Özdeğerlerin İz ve Determinant Özellikleri

Soru 15Soru →

Bir kamu kurumu uzmanı, illerin sosyo-ekonomik gelişmişlik düzeyini ölçmek için 5 farklı değişken içeren bir veri seti üzerinde Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Bu analizde, değişkenler arasındaki ilişkileri incelemek amacıyla $5 \times 5$ boyutlu örneklem varyans-kovaryans matrisi ( $S$ ) hesaplanmıştır. Matrisin özdeğerleri $\lambda_1 > \lambda_2 > \lambda_3 > \lambda_4 > \lambda_5 > 0$ olarak bulunmuş ve bu özdeğerlere karşılık gelen özvektörler sırasıyla $e_1, e_2, e_3, e_4, e_5$ olarak elde edilmiştir.

Bu analizin özellikleri ve elde edilen matris bileşenleri ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi yanlıştır?

S

matrisinin izi (esas köşegen elemanlarının toplamı), özdeğerlerin toplamına (

\sum_{i=1}^{5} \lambda_i

) eşit olup veri setindeki toplam varyansı ifade eder.

Birinci temel bileşenin açıkladığı varyans oranı, en büyük özdeğerin matrisin izine bölünmesi (

\frac{\lambda_1}{\sum_{i=1}^{5} \lambda_i}

) ile hesaplanır.

Temel bileşenlerin açıkladığı toplam varyans,

S

matrisinin determinantına eşit olup özdeğerlerin çarpımı (

\prod_{i=1}^{5} \lambda_i

) ile bulunur.

Analizde elde edilen özvektörlerin tümü birim uzunluğa sahip (

e_i^T e_i = 1

) ve birbirlerine dik (

e_i^T e_j = 0, i \neq j

) olacak şekilde normlanmıştır.

Değişkenlerin ölçüm birimleri birbirinden çok farklıysa,

S

matrisi yerine korelasyon matrisinin (

R

) kullanılması büyük varyanslı değişkenlerin bileşenleri domine etmesini önler.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Temel bileşenlerin açıkladığı toplam varyans, $S$ matrisinin determinantına eşit olup özdeğerlerin çarpımı ( $\prod_{i=1}^{5} \lambda_i$ ) ile bulunur.

Cevap

Temel bileşenlerin açıkladığı toplam varyansın matris determinantına eşit olduğunu ve özdeğerlerin çarpımıyla bulunduğunu iddia eden ifade yanlıştır.

Temel Bileşenler Analizinde (TBA) veri setinin toplam varyansı, varyans-kovaryans matrisinin (

S

) izine (köşegen elemanlarının toplamına) ve dolayısıyla özdeğerlerin toplamına (

\sum \lambda_i

) eşittir. Matrisin determinantı (özdeğerlerin çarpımı,

\prod \lambda_i

) ise toplam varyansı değil, veri bulutunun genel yayılım hacmini ifade eden 'genelleştirilmiş varyansı' (generalized variance) gösterir. Bu nedenle toplam varyansın determinant ile hesaplandığını belirten ifade kesinlikle yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1

Varyans-kovaryans matrisinin iz (trace) ve determinant özelliklerini analiz et.

Matrisin izi, köşegen elemanlarının (bireysel varyansların) toplamıdır ve matematiksel olarak özdeğerlerin toplamına (

\sum \lambda_i

) eşittir. Determinant ise özdeğerlerin çarpımıdır (

\prod \lambda_i

).

Toplam varyans ile genelleştirilmiş varyans kavramlarını ayırt etmek için.

2

Seçeneklerdeki toplam varyans tanımlarını Temel Bileşenler Analizi prensipleriyle karşılaştır.

Toplam varyansın determinant (özdeğer çarpımı) ile hesaplandığını belirten seçenek tespit edilir.

TBA'da 'Toplam Varyans' daima matrisin izine (özdeğer toplamına) karşılık gelir. Determinant 'Genelleştirilmiş Varyans'tır.

Anahtar Kavram

Özdeğerler ve Özvektörlerin Özellikleri (İz ve Determinant Kavramları)

Soru 16Soru →

Bir kurumun insan kaynakları departmanı, personelin performans değerlendirme kriterlerini (üretkenlik, takım çalışması, problem çözme vb.) özetleyerek tek bir 'Genel Liyakat Skoru' elde etmek istemektedir. Yapılan ön analizlerde, değişkenler arasındaki korelasyon yapısını incelemek amacıyla uygulanan Bartlett Küresellik Testi sonucunda $p$ -değeri $0,82$ olarak bulunmuştur.

Analizi yürüten istatistikçi bu sonucu şu şekilde raporlamıştır: *'Test istatistiği anlamsız çıktığı için değişkenler arasında çoklu doğrusal bağlantı (multicollinearity) sorunu yoktur. Ayrıca ölçüm hatalarını ayrıştırarak bu değişkenlerin arkasında yatan gizil (latent) yapıları ortaya çıkarmak asıl amacımız olduğundan, söz konusu veri seti Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamak için teorik olarak idealdir.'*

TBA'nın teorik yapısı ve varsayımları dikkate alındığında, istatistikçinin bu değerlendirmesindeki temel metodolojik hata aşağıdakilerden hangisidir?

Bartlett testinin anlamsız çıkması değişkenlerin birbiriyle ilişkisiz olduğunu gösterdiğinden boyut indirgemenin yapılamayacağı gerçeğini göz ardı etmesi ve analizin amacını Faktör Analizi'nin hedefi olan gizil yapıları bulmakla karıştırmasıdır.

Bartlett testinin anlamsız çıkması veri setinin boyut indirgemeye uygunluğunu doğrulasa da, temel hatanın çoklu bağlantı eksikliğinin varyans-kovaryans matrisini tekil (singüler) hâle getirerek temel bileşenlerin hesaplanmasını engelleyeceğini fark edememesidir.

İstatistikçinin ölçüm hatalarını ayrıştırarak gizil yapıları ortaya çıkarma hedefi TBA'nın doğasıyla tam olarak örtüşmesine karşın, Bartlett testi yerine veri setinin varyans-kovaryans matrislerinin homojenliğini sınayan Box's M istatistiğini referans alması gerekmesidir.

Performans kriterlerinin ölçüm birimlerinin aynı olup olmadığı kontrol edilmeden analize başlanması ve ölçüm hatalarının ayrıştırılması işleminin korelasyon matrisi yerine yalnızca kovaryans matrisi kullanıldığında mümkün olabileceğinin bilinmemesidir.

Birim matrise yakınsayan bir veri setinde TBA uygulandığında özdeğerlerin (eigenvalues) toplamının değişeceğini ve bu durumun açıklanan toplam varyans oranlarını yapay olarak şişirerek elde edilecek ilk temel bileşenin güvenirliğini düşüreceğini öngörememesidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Bartlett testinin anlamsız çıkması değişkenlerin birbiriyle ilişkisiz olduğunu gösterdiğinden boyut indirgemenin yapılamayacağı gerçeğini göz ardı etmesi ve analizin amacını Faktör Analizi'nin hedefi olan gizil yapıları bulmakla karıştırmasıdır.

Cevap

İstatistikçinin temel hatası, Bartlett testinin anlamsız çıkmasının boyut indirgemeyi imkânsız kıldığını fark etmemesi ve TBA'nın asıl amacını Faktör Analizi'nin (hata terimi ayrıştırma ve gizil yapı bulma) amacıyla karıştırmasıdır.

TBA'nın çalışabilmesi için orijinal değişkenler arasında yüksek korelasyonlar olmalıdır. Bartlett Küresellik Testinin anlamsız çıkması (

p=0,82

), değişkenlerin korelasyonsuz (birim matris yapısında) olduğunu gösterir ki bu durumda veri seti boyut indirgemeye uygun DEĞİLDİR. İkinci olarak, istatistikçi 'ölçüm hatalarını ayrıştırarak gizil yapıları bulmaktan' bahsetmektedir; oysa bu TBA'nın değil, Faktör Analizi'nin (FA) teorik temelidir. TBA hata terimi içermez ve toplam varyansı kullanır. Doğru seçenek bu iki kritik metodolojik hatayı tam olarak yansıtmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Bartlett Küresellik Testi sonucunu yorumlama.

p = 0,82 > 0,05

olduğundan test istatistiği anlamsızdır. Bu durum korelasyon matrisinin birim matris (değişkenlerin birbirinden bağımsız) olduğunu gösterir.

TBA'nın veri setini daha az boyuta indirebilmesi için orijinal değişkenler arasında belirli düzeyde korelasyon bulunması matematiksel bir zorunluluktur.

2

Bağımsız değişkenler durumunda TBA'nın davranışını analiz etme.

Eğer değişkenler bağımsızsa, her bir temel bileşen orijinal değişkenlerden birine karşılık gelir (özdeğerler 1'e yaklaşır).

Değişkenlerin ortak taşıdığı bir varyans olmadığı için bilgi kaybı olmaksızın boyut indirgeme yapılamaz.

3

İstatistikçinin ifade ettiği 'ölçüm hatalarını ayrıştırarak gizil yapıları ortaya çıkarma' amacını inceleme.

Bu hedef Faktör Analizi'nin (FA) matematiksel modeline aittir. FA, varyansı ortak ve özgül (hata) olarak ikiye ayırır.

TBA ise ölçüm hatalarını ayırmaz; toplam varyansı açıklayan doğrusal kombinasyonlar (bileşenler) oluşturmayı hedefler.

4

Tespit edilen bulguları birleştirerek en geçerli eleştiriyi belirleme.

İstatistikçi hem ön şartı (korelasyon eksikliği boyut indirgemeyi engeller) hem de analizin amacını (TBA vs. FA farkı) yanlış yorumlamıştır.

Geçerli bir TBA eleştirisi bu iki devasa kavramsal hatayı bir arada barındırmalıdır.

Anahtar Kavram

TBA'nın Varsayımları ve Faktör Analizi ile Yapısal Farkı

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 17Soru →

Bir veri bilimci, 50 büyük ölçekli sanayi şirketinin operasyonel yapısını incelemek için Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaktadır. Modelde kullanılan değişkenler şunlardır:

- Yıllık Satış Hacmi (Milyon TL)
- Çalışan Kadrosu (Kişi sayısı)
- İhracat Oranı (%)
- Sektördeki Tecrübe Süresi (Yıl)

Veri bilimci, değişkenlerin orijinal değerlerinden hareketle oluşturduğu varyans-kovaryans matrisi ( $\Sigma$ ) üzerinden özdeğer ve özvektör ayrışımını gerçekleştirmiştir. Çıktılar incelendiğinde, birinci temel bileşenin ( $\text{PC}_1$ ) toplam varyansın %99.2'sini tek başına açıkladığı ve bu bileşene ait özvektörde "Yıllık Satış Hacmi" değişkeninin katsayısının yaklaşık $1.0$ olduğu tespit edilmiştir.

Ortaya çıkan bu istatistiksel tablonun teorik gerekçesi ve uygulanması gereken doğru metodolojik adım aşağıdakilerden hangisidir?

Ölçüm birimleri farklı olan veri setlerinde, varyans değeri en yüksek olan değişken matrisin izini (trace) kendi üzerinde toplar; tüm değişkenlerin modele eşit ağırlıkla katılabilmesi için standartlaştırılmış veriler üzerinden korelasyon matrisi (

R

) ile analiz yapılmalıdır.

Birinci temel bileşene ait özdeğer, değişken sayısına (p=4) oranlanmak yerine doğrudan yüzde formunda yorumlanmıştır; açıklanan varyans oranı ilgili özdeğerin varyans-kovaryans matrisinin izine bölünmesiyle düzeltilmelidir.

Analizde kullanılan matrisin determinantı sıfıra yaklaştığı için açıklanan toplam bilgi tek bir boyutta yığılmıştır; bu problemi çözmek adına matrisin determinantını maksimize edecek ortogonal bir döndürme işlemi uygulanmalıdır.

Model yapısında değişkenlerin spesifik (kendine özgü) hata varyansları ayrıştırılamadığı için en büyük değerli değişken aşırı yük almıştır; bu durumun önüne geçmek amacıyla ortak varyansı (communality) modelleyen faktör analizine geçilmelidir.

Değişkenlerin varyans farklılıkları bileşen katsayılarını bozmaz ancak veriler sıfır ortalamalı hale getirilmediği için ilk bileşende eksen kayması yaşanmıştır; gözlemler ortalamadan saptırılarak yine varyans-kovaryans matrisi üzerinden işlem yinelenmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Ölçüm birimleri farklı olan veri setlerinde, varyans değeri en yüksek olan değişken matrisin izini (trace) kendi üzerinde toplar; tüm değişkenlerin modele eşit ağırlıkla katılabilmesi için standartlaştırılmış veriler üzerinden korelasyon matrisi ( $R$ ) ile analiz yapılmalıdır.

Cevap

Ölçüm birimleri farklı olan veri setlerinde, varyans değeri en yüksek olan değişken matrisin izini (trace) kendi üzerinde toplar; tüm değişkenlerin modele eşit ağırlıkla katılabilmesi için standartlaştırılmış veriler üzerinden korelasyon matrisi (R) ile analiz yapılmalıdır.

Temel Bileşenler Analizi (TBA), veri setindeki toplam değişimi (matrisin izi - trace) maksimize eden birbirine dik doğrusal kombinasyonları bulmayı amaçlar. Eğer analiz varyans-kovaryans matrisi üzerinden yapılırsa ve değişkenlerin ölçüm birimleri birbirinden farklıysa, varyansı sayısal olarak en büyük olan değişken matrisin izini domine eder. Senaryoda 'Yıllık Satış Hacmi' (Milyon TL) değişkeninin orijinal varyans değeri diğer ölçütlere kıyasla çok büyük olduğundan, birinci temel bileşen neredeyse tamamen bu değişkenin varyansını açıklamış durumdadır. Çözüm olarak, tüm değişkenlerin varyanslarının 1'e eşitlenmesini (standartlaştırma) sağlayan korelasyon matrisi kullanılmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Değişkenlerin ölçüm birimlerinin ve doğal varyans yapılarının incelenmesi

Milyon TL cinsinden ifade edilen satış hacminin orijinal varyans değerinin, kişi, yıl veya yüzde cinsinden ölçülen diğer değişkenlere kıyasla devasa boyutlarda olduğu tespit edilir.

Değişkenler arasındaki ölçek farkı, varyans-kovaryans matrisinin diyagonal elemanları arasındaki devasa uçurumları belirlemek için önemlidir.

2

TBA'nın maksimizasyon prensibinin değerlendirilmesi

Temel Bileşenler Analizi, matrisin toplam varyansını (izini) maksimize etmeye çalıştığı için en büyük varyansa sahip değişkene yönelecektir.

Analizin neden tek bir değişken (%99.2) tarafından domine edildiğinin teorik altyapısını kurmak için gereklidir.

3

Sorunun çözümüne yönelik matris seçiminin yapılması

Birim etkisini ortadan kaldırmak ve tüm değişkenlere başlangıçta eşit şans (1 birim varyans) tanımak için değişkenlerin standartlaştırıldığı korelasyon matrisi kullanılmalıdır.

Dominasyon etkisini kırmak ve her değişkenin bilgi katkısını adil ölçebilmek için standartlaştırma şarttır.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Kovaryans ve Korelasyon Matrislerinin Kullanımı

Soru 18Soru →

Bir ziraat mühendisi, tarım arazilerinin toprak kalitesini değerlendirmek amacıyla 500 farklı bölgeden numune almış ve her numune için pH değeri, azot miktarı, nem yüzdesi ve elektriksel iletkenlik gibi 10 farklı değişkeni ölçmüştür. Mühendis, elde ettiği bu veri setindeki toplam bilgiyi (varyansı) en az kayıpla özetleyecek ve aralarında çoklu doğrusal bağlantı bulunmayan yeni indeksler (bileşenler) oluşturmak için Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamaya karar vermiştir. Araştırmacı analiz öncesinde herhangi bir kavramsal yapı veya teorik model test etmeyi amaçlamamaktadır.

Bu analizin teorik altyapısı, amacı ve varsayımları dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

Analizin başarılı şekilde boyut indirgeyebilmesi için, veri setindeki orijinal değişkenler arasında istatistiksel olarak anlamlı ve yeterli düzeyde bir korelasyon yapısının bulunması temel bir varsayımdır.

Analiz kurgulanırken, gözlenen toprak özelliklerinin arkasında yatan teorik gizil (latent) değişkenlerin var olduğu ve her değişkenin bir hata terimi içerdiği varsayımına dayanılmalıdır.

Veri setinin analize uygunluğunu doğrulamak için, orijinal değişkenlere ait korelasyon matrisinin birim matrise eşit olduğunu sınayan Bartlett Küresellik Testi sonucunun istatistiksel olarak anlamsız (

p > 0,05

) çıkması beklenir.

Orijinal değişkenlerin ölçüm birimleri birbirinden tamamen farklı olsa dahi, özdeğerlerin maksimizasyonu için analizin korelasyon matrisi yerine doğrudan kovaryans matrisi üzerinden yapılması zorunludur.

Bileşenlerin açıklayıcılık gücü yorumlanırken, korelasyon matrisi üzerinden hesaplanan her bir özdeğer (eigenvalue) doğrudan ilgili bileşenin açıkladığı varyansın yüzdelik oranı olarak kabul edilmelidir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Analizin başarılı şekilde boyut indirgeyebilmesi için, veri setindeki orijinal değişkenler arasında istatistiksel olarak anlamlı ve yeterli düzeyde bir korelasyon yapısının bulunması temel bir varsayımdır.

Cevap

Temel Bileşenler Analizi'nin temel amacı birbiriyle ilişkili orijinal değişkenlerden, aralarında ilişki bulunmayan daha az sayıda bileşen elde ederek veri boyutunu indirgemektir. Bu dönüşümün mantıklı ve matematiksel olarak işlevsel olabilmesi için orijinal değişkenler arasında belirli düzeyde bir korelasyon olması şarttır.

Temel Bileşenler Analizi, birbiriyle yüksek derecede ilişkili olan bağımsız değişkenleri, kendi aralarında bağımsız olan (dik/ortogonal) yeni bileşenlere dönüştürme işlemidir. Eğer orijinal veri setindeki değişkenler arasında bir korelasyon yapısı (ilişki) yoksa, değişkenler zaten birbirine dik durumdadır. Bu durumda, orijinal değişken sayısından daha az sayıda bir bileşenle varyansı yüksek oranda açıklamak mümkün olmaz. Dolayısıyla, yeterli düzeyde korelasyonun varlığı (KMO ve Bartlett testleri ile de kanıtlanması gereken) yöntemin en temel varsayımıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Araştırmacının amacı ve veri yapısını değerlendir

Araştırmacı farklı birimlerde ölçülmüş değişkenlerin varyansını özetlemek istiyor ve gizil değişken varsayımı yapmıyor. Bu durum TBA'nın tanımına tam uyar.

Kullanılacak istatistiksel yöntemin teorik sınırlarını belirlemek için gereklidir.

2

TBA'nın temel varsayımlarını gözden geçir

TBA'da değişkenlerin ölçüm birimleri farklıysa korelasyon matrisi kullanılır, veride gizil yapı aranmaz, özdeğerler doğrudan yüzde değildir ve analizin yapılabilmesi için değişkenler arası korelasyon şarttır (Bartlett anlamlı olmalıdır).

Seçeneklerde sunulan ifadelerin doğruluğunu veya barındırdığı kavramsal yanılgıları saptamak için bu teorik çerçevenin bilinmesi gerekir.

3

Doğru ifadeyi belirle

Orijinal değişkenler arasında korelasyon bulunması gerektiği yönündeki ifade analizin en temel gerekliliğidir.

Eğer değişkenler bağımsızsa (korelasyonsuzsa), zaten birbirlerine diktirler ve analizle boyutu indirgemek, varyans kaybı olmadan mümkün olmaz.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Temel Varsayımlar ve Özellikler

Soru 19Soru →

Çok değişkenli bir veri setinin yapısını daha az sayıda değişkenle açıklamak amacıyla Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulanmaktadır. Bu analizde, orijinal $p$ -boyutlu değişkenler uzayından varyansın maksimize edildiği yeni bir eksen sistemine geçiş yapılır.

TBA'nın geometrik yorumu ve elde edilen bileşenlerin diklik (ortogonallik) özelliği dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangisi doğrudur?

p

-boyutlu uzayda orijinal veriyi çevreleyen sabit yoğunluklu hiper-elipsoidin asal eksenleri, varyans-kovaryans matrisinin özvektörleriyle çakışır ve bu eksenler boyunca tanımlanan temel bileşenler sıfır korelasyona sahiptir.

Elde edilen temel bileşen eksenlerinin birbirine dik olabilmesi ve aralarındaki korelasyonun sıfır kalması için, başlangıç çözümünden sonra Varimax gibi bir dik döndürme (rotasyon) işleminin uygulanması şarttır.

Bir temel bileşenin açıkladığı varyans oranı, o bileşene ait özvektör elemanlarının kareleri toplamının, orijinal varyans-kovaryans matrisinin izine (trace) bölünmesiyle hesaplanır.

Ortogonal dönüşüm sonucunda toplam varyansın değişmeden kalmasının nedeni, dönüşümü sağlayan matrisin determinantının orijinal varyans-kovaryans matrisinin izine eşit olmasıdır.

Temel bileşenler, orijinal değişkenlerin sadece ortak varyanslarını (communality) hesaba katarak ölçüm hatasından arındırılmış gizil (latent) yapıları modelleyen ortogonal vektörlerdir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $p$ -boyutlu uzayda orijinal veriyi çevreleyen sabit yoğunluklu hiper-elipsoidin asal eksenleri, varyans-kovaryans matrisinin özvektörleriyle çakışır ve bu eksenler boyunca tanımlanan temel bileşenler sıfır korelasyona sahiptir.

Cevap

p

-boyutlu uzayda orijinal veriyi çevreleyen sabit yoğunluklu hiper-elipsoidin asal eksenleri, varyans-kovaryans matrisinin özvektörleriyle çakışır ve bu eksenler boyunca tanımlanan temel bileşenler sıfır korelasyona sahiptir.

TBA, veri uzayını yeni bir ortogonal koordinat sistemine taşır. Çok değişkenli normal dağılım varsayımı altında veya genel bir geometrik yorumla, orijinal verinin dağılımı sabit yoğunluklu bir hiper-elipsoid olarak ifade edilir. Bu elipsoidin en uzun ekseninden (en büyük varyans) en kısa eksenine doğru uzanan asal eksenler, orijinal varyans-kovaryans (veya korelasyon) matrisinin özvektörleriyle tamamen aynı yöndedir. Matris cebiri kuralı gereği, simetrik bir varyans-kovaryans matrisinin özvektörleri birbirine diktir (ortogonaldir). Bu geometrik diklik, elde edilen yeni bileşen skorlarının aralarındaki kovaryansın (ve dolayısıyla korelasyonun) sıfır olması sonucunu doğurur. Dolayısıyla doğru seçenek, bu geometrik ve istatistiksel uyumu eksiksiz açıklamaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

TBA'nın temel geometrik dönüşümünü analiz et.

Orijinal veri seti çok boyutlu uzayda bir elipsoid oluşturur; bu elipsoidin uzunlukları ve yönleri varyans-kovaryans matrisinin spektral ayrışımına bağlıdır.

Geometrik özellikler, varyans-kovaryans matrisinin özdeğer ve özvektörleriyle doğrudan tanımlanır.

2

Özvektörlerin geometrik ve istatistiksel anlamını belirle.

Özvektörler elipsoidin asal eksenlerini oluşturur. Varyans-kovaryans matrisi simetrik olduğu için bu eksenler birbirine diktir (ortogonaldir).

Simetrik matrislerin özvektörleri her zaman ortogonal bir taban oluşturur.

3

Eksenlerin ortogonalliğini bileşenler arası korelasyonla ilişkilendir.

Temel bileşen eksenlerinin birbirine dik olması, bu eksenlere yansıtılan yeni değişkenlerin (temel bileşenlerin) birbiriyle sıfır korelasyona sahip olması anlamına gelir.

Diklik geometrik olarak 90 derecelik açıya, istatistiksel olarak ise sıfır kovaryansa/korelasyona karşılık gelir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde Geometrik Dönüşüm ve Ortogonallik

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 20Soru →

Bir tarım araştırmacısı, farklı buğday türlerinin verimlilik özelliklerini incelemek için $4$ farklı değişkenden oluşan bir veri setine Temel Bileşenler Analizi (TBA) uygulamıştır. Değişkenlerin aynı ölçüm birimlerine sahip olması nedeniyle analiz, korelasyon matrisi yerine doğrudan kovaryans matrisi üzerinden gerçekleştirilmiştir. Veri setindeki dört değişkenin varyansları sırasıyla $1,50$ , $1,20$ , $0,80$ ve $0,50$ 'dir.

Bu analiz sonucunda elde edilen ilk üç temel bileşenin özdeğerleri sırasıyla $\lambda_1 = 2,50$ , $\lambda_2 = 0,90$ ve $\lambda_3 = 0,40$ olarak hesaplanmıştır.

Buna göre, ilk iki temel bileşenin veri setindeki toplam varyansı açıklama oranı (birikimli varyans oranı) yüzde kaçtır?

%34,0

%56,3

%62,5

%85,0

%89,5

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: %85,0

Cevap

İlk iki temel bileşenin açıkladığı birikimli varyans oranı %85,0'tir.

Kovaryans matrisi kullanıldığında toplam varyans, başlangıçtaki değişkenlerin varyansları toplamına (matrisin izine) eşittir. Verilen varyansların toplamı

1,50 + 1,20 + 0,80 + 0,50 = 4,00

'tür. İlk iki temel bileşenin özdeğerleri toplamı ise

2,50 + 0,90 = 3,40

'tır. İlk iki bileşenin açıkladığı birikimli varyans oranı, bu iki değerin birbirine bölünmesiyle

3,40 / 4,00 = 0,85

(%85,0) olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Toplam varyansın (matrisin izinin) belirlenmesi

Toplam varyans =

1,50 + 1,20 + 0,80 + 0,50 = 4,00

Kovaryans matrisi üzerinden yapılan analizlerde toplam varyans, matrisin köşegen elemanlarının (değişkenlerin varyanslarının) toplamına yani matrisin izine (trace) eşittir. Aynı zamanda tüm özdeğerlerin toplamı da matrisin izine eşit olmak zorundadır.

2

İlk iki temel bileşenin özdeğerlerinin toplanması

\lambda_1 + \lambda_2 = 2,50 + 0,90 = 3,40

İlk iki bileşenin veri setinde açıkladığı varyansı bulmak için bu bileşenlere ait özdeğerlerin toplanması gerekir.

3

Birikimli açıklanan varyans oranının hesaplanması

Oran =

3,40 / 4,00 = 0,85

(Yüzde 85,0)

Birikimli varyans oranı, ilgili bileşenlerin özdeğerleri toplamının, veri setinin toplam varyansına bölünmesiyle elde edilir.

Anahtar Kavram

Temel Bileşenler Analizinde kovaryans matrisinin izi ve açıklanan birikimli varyans oranı

Tahmini Süre:1m 30s

Temel Bileşenler Analizi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap