Bir ekonometrik analizde, bağımlı değişken Y, gerçekte aralarında pozitif yönde ve çok güç… — KPSS İstatistik

Bir ekonometrik analizde, bağımlı değişken $Y$ , gerçekte aralarında pozitif yönde ve çok güçlü (ancak tam olmayan) bir doğrusal ilişki bulunan $X_1$ ve $X_2$ açıklayıcı değişkenleriyle modellenmektedir.

Model, standart En Küçük Kareler (EKK) yöntemi kullanılarak tahmin edildiğinde, bu yüksek dereceli çoklu doğrusal bağlantının parametre tahmincileri ( $\hat{\beta}_1$ ve $\hat{\beta}_2$ ) ve bunların dağılımları üzerindeki asıl yapısal etkisi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$\hat{\beta}_1$ ve $\hat{\beta}_2$ tahmin edicileri arasındaki kovaryans güçlü bir şekilde negatif değer alacak, bu durum katsayılardan birinin aşırı tahmin edilmesinin diğerinin eksik tahmin edilmesiyle telafi edilmesine (tahterevalli etkisine) yol açacaktır.Cevap
B
Yüksek korelasyon, EKK tahmincilerinin beklenen değerlerini gerçek parametrelerden saptırarak her iki katsayının da tutarsız ve sistematik olarak yanlı (sapmalı) sonuçlar üretmesine neden olacaktır.
C
Tahmin ediciler sapmasızlık özelliğini korumaya devam etse de, Gauss-Markov teoremi bağlamında doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler sınıfı içinde en küçük varyansa sahip olma (BLUE) özelliğini bütünüyle yitirecektir.
D
Modeldeki şiddetli doğrusal bağlantı, değişkenlerin bağımlı değişkeni ortaklaşa açıklama gücünü bozacağından belirtme katsayısı ( $R^2$ ) ve genel F istatistiği yapay olarak çok düşük çıkacaktır.
E
Değişkenler arası şiddetli bağlantı, hata terimlerinin varyansının sabit kalması varsayımını zorunlu olarak ihlal edeceğinden katsayılar için kurulan t-testleri tamamen geçersiz hale gelecektir.

Cevap

İki açıklayıcı değişken arasındaki güçlü pozitif ilişkinin, bu değişkenlere ait eğim parametresi tahmincileri arasındaki kovaryansı güçlü bir şekilde negatif yapacağını ve telafi edici tahmin farklılıklarına yol açacağını belirten ifadedir.

Çoklu regresyon modelinde, açıklayıcı değişkenler

X_1

X_2

arasında güçlü bir pozitif korelasyon bulunduğunda,

Var(\hat{\beta}) = \sigma^2(X'X)^{-1}

eşitliği gereği katsayılar arasındaki kovaryans formülü gereği negatif bir değer alır. Varyans şişme faktörünün (VIF) yükselmesi sadece katsayıların varyanslarını değil, aynı zamanda aralarındaki negatif kovaryansın da mutlak değerini büyütür. Bunun ekonometrik anlamı şudur: Model, bağımlı değişkendeki değişimi açıklarken

X_1

X_2

'nin birbirine çok benzeyen hareketlerini ayrıştırmakta zorlanır. Eğer veri yapısındaki rastlantısal bir dalgalanma

X_1

'in katsayısını olması gerektiğinden büyük hesaplarsa, uyumun bozulmaması için

X_2

'nin katsayısı zorunlu olarak eksik (düşük) hesaplanır. Bu "tahterevalli etkisi", katsayıların son derece kararsız ve örneklem bağımlı hale gelmesinin temel nedenidir.

Adım Adım Çözüm

Çoklu doğrusal bağlantının EKK varsayımlarına etkisini teorik olarak değerlendir.

Bağlantının "tam olmayan" (imperfect) olması durumunda EKK tahmincileri sapmasızlık, doğrusallık ve kendi sınıfında en küçük varyansa sahip olma (BLUE) özelliklerini korur.

Çoklu bağlantı, EKK'nın temel varsayımlarından bir ihlal yaratmaz, sadece verinin yapısından kaynaklanan sayısal bir sorundur.

EKK tahmincilerinin varyans-kovaryans matrisinin

(X'X)^{-1}

yapısını analiz et.

X_1

X_2

arasında pozitif korelasyon olduğunda (

\sum x_1 x_2 > 0

), matrisin tersi alınırken bu iki katsayıya ait diyagonal dışı eleman negatif işaret alır (

Cov(\hat{\beta}_1, \hat{\beta}_2) < 0

Varyans-Kovaryans matrisinin formülasyonu gereği, bağımsız değişkenler birlikte aynı yönde hareket ediyorsa, model bu etkinin kime ait olduğunu ayrıştırmakta zorlanır.

Kovaryansın negatif olmasının ve varyansların şişmesinin pratik sonucunu yorumla.

Bir katsayı örneklem dalgalanması nedeniyle gerçek değerinin üzerinde tahmin edilirse, modeli dengelemek adına diğer katsayı gerçek değerinin altında tahmin edilir (tahterevalli etkisi).

Bu durum, tahmincilerin örneklemdeki küçük değişimlere karşı aşırı duyarlı ve kararsız hale gelmesinin matematiksel mekanizmasıdır.

Anahtar Kavram

Çoklu Doğrusal Bağlantıda Varyans-Kovaryans Matrisinin Yapısı ve BLUE Özelliği

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular