Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorBireysel Gözlemler ve Hareketli Aralık (MR) Grafikleri

Bir savunma sanayisi işletmesinde, düşük hacimli ve yüksek maliyetli bir titanyum alaşımı üretim sürecinde kalite kontrolü sağlanmak istenmektedir. Üretim hızının çok yavaş olması nedeniyle, her partiden ardışık olarak yalnızca bir adet örneklem alınarak (n=1n=1) Bireysel Gözlemler (I) ve Hareketli Aralık (MR) grafikleri oluşturulmuştur.

Ön hazırlık aşamasında toplanan 25 gözlem sonucunda sürecin genel ortalaması Xˉ=120 mm\bar{X} = 120\text{ mm} ve ardışık iki gözlem arasındaki ortalama hareketli aralık MR‾=2,256 mm\overline{MR} = 2,256\text{ mm} olarak hesaplanmıştır. (n=2n=2 için tablo sabitleri: d2=1,128d_2 = 1,128, D3=0D_3 = 0, D4=3,267D_4 = 3,267).

Ancak kalite mühendisi, toplanan verilerin dağılımının yüksek derecede sağa çarpık (pozitif çarpık) olduğunu ve normallik varsayımının ciddi şekilde ihlal edildiğini tespit etmiştir.

Buna göre, I grafiği kontrol sınırlarının hesaplanması ve sürecin değerlendirilmesi ile ilgili aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel kalite kontrol ilkeleri açısından en doğrudur?

  1. I grafiğinin kontrol sınırları teorik olarak Alt = 114 ve Üst = 126 olarak hesaplansa da, dağılımın sağa çarpık olması nedeniyle üst sınırı aşan sahte alarm (Tip 1 hata) olasılığı artacaktır; bu yüzden verilere uygun bir dönüşüm işlemi uygulanmalıdır.Cevap
  2. B
    Bireysel gözlem grafiklerinde de Xˉ\bar{X} grafiklerinde olduğu gibi Merkezsel Limit Teoremi geçerlidir; bu nedenle normallik varsayımı ihlali göz ardı edilerek Alt = 114 ve Üst = 126 sınırları doğrudan kullanılmalıdır.
  3. C
    Hesaplanan Alt = 114 ve Üst = 126 değerleri sürecin doğal değişkenliği yerine spesifikasyon sınırlarını oluşturduğundan, müşteri kısıtlarını değiştirmemek adına istatistiksel dönüşüm yapılmamalıdır.
  4. D
    Dağılımın sağa çarpık olması, süreç kontrolden çıktığında bunun fark edilmesini zorlaştırarak asıl olarak Tip 2 hatayı artırır; sınırlar Alt = 114 ve Üst = 126 olarak bırakılmalı ve toleranslar daraltılmalıdır.
  5. E
    Dağılımdaki sağa çarpıklık, sistemde genel nedenlerden kaynaklanan doğal bir değişkenlik yaratsa da, Alt = 114 ve Üst = 126 sınırlarını aşan her gözleme anında özel neden müdahalesi yapılarak süreç sürekli ayarlanmalıdır.

Cevap

Bireysel Gözlemler (I) grafiğinin sınırları Alt=114 ve Üst=126 olarak hesaplanmalıdır; ancak grafik normalliğe karşı son derece hassas olduğundan, verilerdeki sağa çarpıklık üst sınırda sahte alarm (Tip 1 hata) riskini çok artıracaktır. Çözüm olarak verilere istatistiksel dönüşüm uygulanması gerekir.
Bireysel gözlemler (I) grafiğinde n=1n=1 olduğundan Merkezsel Limit Teoremi işlemez ve grafik normallik varsayımına aşırı duyarlıdır. Dağılım sağa çarpık olduğunda, veri setinde üst kuyruk uzayacaktır. Sürecin doğal sapması σ^=2,256/1,128=2\hat{\sigma} = 2,256 / 1,128 = 2 formülü ile bulunur. Buradan simetrik Alt=114 ve Üst=126 sınırları hesaplanır. Bu sınırlar doğrudan uygulandığında, çarpıklıktan dolayı üst sınırı (126) aşan gözlem sayısı teorik beklentiden çok daha yüksek olur. Bu da sistemin kontrol dışı olduğu yanılgısına (Tip 1 hata / sahte alarm) yol açar. Bu sorunu çözmek için verilere dönüşümler uygulanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1
Sürecin tahmini standart sapmasını (σ^\hat{\sigma}) hesaplamak.
σ^=MR‾d2=2,2561,128=2 mm\hat{\sigma} = \frac{\overline{MR}}{d_2} = \frac{2,256}{1,128} = 2\text{ mm} olarak bulunmuştur.
Bireysel Gözlemler grafiğinde genel sapmayı bulmak için hareketli aralık ortalaması kullanılır.
2
Bireysel Gözlem (I) grafiğinin teorik Alt (LCL) ve Üst (UCL) kontrol sınırlarını hesaplamak.
UCL=Xˉ+3σ^=120+3(2)=126UCL = \bar{X} + 3\hat{\sigma} = 120 + 3(2) = 126. LCL=Xˉ−3σ^=120−3(2)=114LCL = \bar{X} - 3\hat{\sigma} = 120 - 3(2) = 114.
Sürecin doğal değişkenliğini (3-sigma sınırlarını) belirlemek için formül uygulanır.
3
Sağa çarpık dağılımın I grafiği üzerindeki etkisini değerlendirmek.
Sağa çarpık dağılımda veriler uzun bir sağ kuyruğa sahip olduğundan, 126126 sınırını (UCL) geçen değerlerin görülme sıklığı teorik %0,135\%0,135 değerinden çok daha büyük olacaktır.
I grafiklerinde (n=1n=1) Merkezsel Limit Teoremi işlemediğinden orijinal dağılımın şekli sahte alarm (Tip 1 hata) oranını doğrudan etkiler.
4
Durumu düzeltmek için yapılması gereken kalite kontrol yaklaşımını belirlemek.
Verilere Box-Cox vb. bir dönüşüm uygulanarak veri normalleştirilmeli veya non-parametrik sınırlar kullanılmalıdır.
Normallik varsayımının ciddi ihlali durumunda klasik 3-sigma sınırlarının kullanılması gereksiz süreç müdahalelerine yol açar.

Anahtar Kavram

Bireysel Gözlemler Grafiğinde Normallik İhlali ve Sınırların Hesaplanması
Bu soruyu puanla

Konular

Bireysel Gözlemler ve Hareketli Aralık (MR) Grafikleri