Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorEKK Tahmin Edicilerinin Özellikleri (Gauss-Markov Teoremi)

Bir kamu politikasının kantitatif etki analizi için Yi=β0+β1Xi+uiY_i = \beta_0 + \beta_1 X_i + u_i biçiminde basit doğrusal regresyon modeli tahmin edilmektedir. Bu analizde, Klasik Doğrusal Regresyon Modeli'nin (KDRM) tüm standart varsayımlarının (hata terimlerinin sıfır beklenen değere ve sabit varyansa sahip olması, otokorelasyon bulunmaması ve bağımsız değişkenin stokastik olmaması) eksiksiz olarak sağlandığı bilinmektedir.

Araştırmacı, β1\beta_1 parametresini tahmin etmek amacıyla En Küçük Kareler (EKK) yöntemiyle elde edilen β^EKK\hat{\beta}_{EKK} yerine, gözlemlere farklı ağırlıklar (wiw_i) atayan β~1=∑i=1nwiYi\tilde{\beta}_1 = \sum_{i=1}^{n} w_i Y_i formunda yeni bir doğrusal tahmin edici önermiştir. İstatistiksel incelemeler sonucunda, önerilen bu yeni doğrusal tahmin edicinin varyansının, EKK tahmin edicisinin varyansından kesin olarak daha küçük olduğu (Var(β~1)<Var(β^EKK)Var(\tilde{\beta}_1) < Var(\hat{\beta}_{EKK})) ispatlanmıştır.

Bu bilgilere ve Gauss-Markov teoremine göre, β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisi için aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

  1. A
    Hata terimlerinin dağılımı normal olmadığında, β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisi EKK'ya kıyasla hem doğrusal ve sapmasız kalarak hem de daha düşük varyans üretebilir.
  2. B
    EKK'nın "en iyi" (minimum varyanslı) olma özelliği yalnızca asimptotik olarak geçerli bir teorem olduğundan, küçük örneklemlerde β~1\tilde{\beta}_1 sapmasız kalarak daha etkin sonuçlar verebilir.
  3. β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisi parametrenin gerçek değerinden sistematik bir sapma içermektedir; yani beklenen değeri β1\beta_1'e eşit değildir.Cevap
  4. D
    Olası bir çoklu doğrusal bağlantı durumunda EKK tahmin edicileri sapmalı hale geleceğinden, β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisi bu sapmayı düzelterek EKK'dan daha küçük varyans elde etmeyi sağlamıştır.
  5. E
    EKK tahmin edicileri otokorelasyon varlığında dahi etkinlik (minimum varyans) özelliğini koruduğundan, varyansı EKK'dan daha küçük olan β~1\tilde{\beta}_1 doğrusal olmayan fakat sapmasız bir tahmin edicidir.

Cevap

β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisi parametrenin gerçek değerinden sistematik bir sapma içermektedir; yani beklenen değeri β1\beta_1'e eşit değildir.
Gauss-Markov teoremi, KDRM varsayımları (sıfır ortalama, sabit varyans, otokorelasyonsuzluk vs.) sağlandığında EKK tahmin edicilerinin Doğrusal ve Sapmasız tahmin ediciler sınıfında minimum varyansa sahip olduğunu (BLUE) ispatlar. Soruda β~1\tilde{\beta}_1'in, YiY_i'nin ağırlıklı toplamı olduğu (∑wiYi\sum w_i Y_i) verilmiştir, bu durum onun 'doğrusal' bir tahmin edici olduğunu garantiler. Eğer bu doğrusal tahmin edicinin varyansı EKK'nın varyansından daha küçükse, Gauss-Markov teoremine göre bu tahmin edici 'sapmasızlık' (unbiasedness) özelliğini kesinlikle sağlayamaz. Çünkü hem doğrusal hem de sapmasız olan hiçbir tahmin edici EKK'nın varyans sınırının altına inemez. Bu çelişki, β~1\tilde{\beta}_1'in sapmalı (beklenen değeri β1\beta_1'e eşit olmayan) bir tahmin edici olduğunu kanıtlar.

Adım Adım Çözüm

1
Gauss-Markov teoreminin KDRM varsayımları altındaki temel sonucunu hatırlamak.
EKK tahmin edicilerinin doğrusal ve sapmasız tahmin ediciler arasında en küçük varyansa sahip olduğu (BLUE) belirlenir.
Teoremin tanımı gereği, başka hiçbir doğrusal ve sapmasız tahmin edici EKK'dan daha düşük varyanslı olamaz.
2
Soruda verilen β~1\tilde{\beta}_1 tahmin edicisinin özelliklerini teoremin kısıtlarıyla karşılaştırmak.
β~1=∑wiYi\tilde{\beta}_1 = \sum w_i Y_i formunda olduğu için bu tahmin edicinin kesinlikle 'doğrusal' (linear) olduğu tespit edilir.
Tahmin edicinin bağımlı değişken Y'nin ağırlıklı bir toplamı olarak ifade edilmesi doğrusallık şartını zorunlu olarak sağlar.
3
Varyans küçüklüğü bilgisini (Var(β~1)<Var(β^EKK)Var(\tilde{\beta}_1) < Var(\hat{\beta}_{EKK})) mantıksal olarak analiz etmek.
Doğrusal bir tahmin edicinin varyansı EKK'dan kesin olarak küçükse, bu tahmin edicinin BLUE özelliklerinden biri olan 'sapmasızlık' şartını ihlal ettiği sonucuna varılır.
Eğer β~1\tilde{\beta}_1 hem doğrusal hem de sapmasız olsaydı, varyansı EKK'nın varyansından daha küçük olamazdı. Dolayısıyla β~1\tilde{\beta}_1 sapmalıdır.

Anahtar Kavram

Gauss-Markov Teoremi Kapsamında BLUE (En İyi Doğrusal Sapmasız) Özellikleri
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

EKK Tahmin Edicilerinin Özellikleri (Gauss-Markov Teoremi)

Bu konudan daha fazla soru