Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÖrnekleme Hatası

Bağımsız bir denetim firması, çok uluslu bir şirketin o yıla ait on binlerce fatura kaydındaki (kitle) ortalama usulsüzlük miktarını (μ\mu) belirlemekle görevlendirilmiştir. Ancak denetçilere teslim edilen dijital veri tabanı (örnekleme çerçevesi), bazı şubelerin verilerini içermemekte ve mükerrer kayıtlar barındırmaktadır. Bu veri tabanı üzerinden çekilen nn birimli bir olasılıklı örneklem kullanılarak μ^\hat{\mu} tahminleyicisi hesaplanmıştır. Veri tabanının (çerçevenin) gerçek ortalama usulsüzlük miktarı ise μF\mu_F olarak tanımlanmıştır.

Denetim sürecindeki toplam hata miktarı μ^−μ\hat{\mu} - \mu şeklinde ifade edildiğine göre, bu hata bileşenleri ve örneklem büyüklüğünün (nn) hatanın yapısı üzerindeki etkisine ilişkin aşağıdaki önermelerden hangisi teorik olarak kesinlikle doğrudur?

  1. Toplam hata denklemi (μ^−μF)+(μF−μ)(\hat{\mu} - \mu_F) + (\mu_F - \mu) şeklinde ayrıştırıldığında ilk terim rassal seçimden kaynaklanan örnekleme hatasını gösterir; veri tabanındaki tüm faturalar incelendiğinde (n=NFn = N_F) örnekleme hatası sıfırlanmasına rağmen örnekleme dışı hata olan ikinci terim sabit kalır.Cevap
  2. B
    Bu modelde μ\mu değeri çekilen örneklemden elde edilen bir istatistik, μ^\hat{\mu} ise tüm faturalara ait bir kitle parametresi fonksiyonu olduğundan; nn hacminin artırılması doğrudan istatistiğin parametreye yakınsamasını sağlayarak her iki hata türünü de elimine eder.
  3. C
    Veri tabanındaki mükerrer kayıtlar ve eksik şube verileri doğrudan olasılıklı seçimi bozduğu için (μF−μ)(\mu_F - \mu) farkı yapısal bir örnekleme hatasıdır; dolayısıyla örneklem hacmi (nn) büyütüldükçe kitle daha iyi temsil edileceğinden bu hata asimptotik olarak küçülür.
  4. D
    Örneklem büyüklüğü (nn) ile toplam varyans arasında ters yönlü bir ilişki bulunduğundan, nn değerinin veri tabanı hacmine (NFN_F) yaklaşması, hem örnekleme hatası olan (μ^−μF)(\hat{\mu} - \mu_F) terimini hem de kapsam hatası olan (μF−μ)(\mu_F - \mu) terimini eşzamanlı olarak sıfıra indirger.
  5. E
    Rastgele çekilen bir örneklem kullanıldığı için μ^\hat{\mu} tahminleyicisi doğrudan kitle ortalaması μ\mu için yansızdır; bu sebeple toplam hatanın tamamı örnekleme hatasından ibarettir ve örnekleme dışı bir hata olan (μF−μ)(\mu_F - \mu) matematiksel olarak ihmal edilir.

Cevap

Toplam hata denklemi (μ^−μF)+(μF−μ)(\hat{\mu} - \mu_F) + (\mu_F - \mu) şeklinde ayrıştırıldığında ilk terim rassal seçimden kaynaklanan örnekleme hatasını gösterir; veri tabanındaki tüm faturalar incelendiğinde (n=NFn = N_F) örnekleme hatası sıfırlanmasına rağmen örnekleme dışı hata olan ikinci terim sabit kalır.
Araştırmalardaki toplam hata, örneklemden hesaplanan istatistik ile hedeflenen kitle parametresi arasındaki farktır. Eğer örneklem çekilen çerçeve (veri tabanı) kitleyi eksik veya hatalı temsil ediyorsa, toplam hata iki bileşene ayrılır: 1) İstatistik (μ^\hat{\mu}) ile çerçevenin parametresi (μF\mu_F) arasındaki fark olan 'Örnekleme Hatası', 2) Çerçeve parametresi (μF\mu_F) ile asıl kitle parametresi (μ\mu) arasındaki fark olan 'Kapsam Hatası (Örnekleme Dışı Hata)'. Örneklem hacmi çerçevenin tamamını kapsayacak şekilde genişletildiğinde (n=NFn = N_F), rassal seçim bitip tam sayıma geçildiği için örnekleme hatası sıfırlanır. Ancak çerçevenin kitleyle uyuşmazlığından doğan örnekleme dışı hata aynen kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Toplam tahmini hatayı matematiksel olarak iki ana bileşene ayrıştırmak.
Hata fonksiyonu μ^−μ\hat{\mu} - \mu ifadesine μF\mu_F eklenip çıkarılarak (μ^−μF)+(μF−μ)(\hat{\mu} - \mu_F) + (\mu_F - \mu) şeklinde ifade edilir.
Çerçeve uyuşmazlığının bulunduğu durumlarda hatanın hangi kısmının örnekleme sürecinden, hangi kısmının çerçevenin kalitesinden kaynaklandığını izole etmek için.
2
(μ^−μF)(\hat{\mu} - \mu_F) bileşeninin (örnekleme hatası) doğasını ve örneklem hacmiyle (nn) ilişkisini belirlemek.
Bu fark, kusurlu da olsa sadece eldeki çerçeveden bir alt küme (örneklem) çekilmesinden doğan rassal dalgalanmadır. Çerçeve tam sayıma tabi tutulursa (n=NFn = N_F), tahminleyici çerçevenin parametresine tam eşit olur ve hata matematiksel olarak sıfırlanır.
Örnekleme hatasının tanımını ve örneklem büyüklüğü ile ters orantılı yapısını doğrulamak için.
3
(μF−μ)(\mu_F - \mu) bileşeninin (örnekleme dışı hata) doğasını ve örneklem hacmiyle (nn) ilişkisini analiz etmek.
Bu fark çerçevenin (veri tabanının) asıl kitleyi kapsama düzeyindeki yapısal yetersizliktir. Veri derleme ve kayıt aşamasında oluşur. Örneklem hacminden tamamen bağımsızdır; tam sayım dahi yapılsa varlığını korur.
Örnekleme dışı hataların istatistiksel rassallıktan bağımsız olduğunu ve örneklem büyüklüğünü artırarak giderilemeyeceğini kanıtlamak için.

Anahtar Kavram

Örnekleme Hatası ve Toplam Hata Ayrışımı (Kapsam Hatası)
Bu soruyu puanla

Konular

Örnekleme Hatası

Bu konudan daha fazla soru