Bir petrokimya tesisinde, sürekli akış reaktöründen saat başı alınan tekil örneklemlerdeki… — KPSS İstatistik

Bir petrokimya tesisinde, sürekli akış reaktöründen saat başı alınan tekil örneklemlerdeki ( $n=1$ ) safsızlık oranı, Bireysel Gözlemler ve Hareketli Aralık (I-MR) grafikleri ile izlenmektedir.

Kalite mühendisleri, sürecin fiili olarak kararlı (stabil) çalışmasına ve varyansında gerçek bir artış olmamasına rağmen, Bireysel Gözlemler (I) grafiğinde üst kontrol sınırını (UCL) aşan noktaların sıklıkla ortaya çıktığını ve sürekli hatalı alarm (Tip I hatası) üretildiğini fark etmiştir.

Yapılan geriye dönük istatistiksel incelemelerde;
I. Ardışık safsızlık ölçümleri arasında güçlü bir pozitif otokorelasyon bulunduğu,
II. Safsızlık oranının dağılımının yüksek derecede sağa çarpık olduğu
tespit edilmiştir.

Bu bilgilere göre, İstatistiksel Kalite Kontrol teorisi bağlamında I-MR grafiğinde yaşanan sorunun temel istatistiksel nedeni ve bu durumu aşmak için izlenmesi gereken en uygun analitik yöntem aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

Pozitif otokorelasyon ardışık gözlemler arasındaki farkları küçülttüğünden $\bar{MR}$ istatistiği sürecin standart sapmasını eksik tahmin etmiş ve kontrol sınırları daralmıştır; verilere uygun bir zaman serisi modeli kurularak model artıkları (kalıntıları) için kontrol grafiği oluşturulmalıdır.Cevap
B
Sağa çarpık dağılım hareketli aralıkların varyansını doğal sınırların ötesine taşımıştır; hatalı alarmları önlemek için istatistiksel kontrol sınırları yerine doğrudan müşteri beklentilerini yansıtan spesifikasyon (tolerans) sınırları kullanılarak süreç izlenmelidir.
C
Otokorelasyonlu verilerde $n=1$ alt grup hacmi ile çalışılması hesaplama varsayımlarını ihlal etmiştir; dalgalanmaları daha iyi sönümlemek için veri yapısına ve alt grup hacmine bakılmaksızın doğrudan varyansa duyarlı olan $\bar{X}-S$ kontrol grafiğine geçiş yapılmalıdır.
D
Güçlü pozitif otokorelasyon, I grafiğinde sürecin kontrolden çıktığı halde fark edilememesi (Tip II hatası) riskini maksimize etmiştir; bu hatayı telafi etmek için hareketli aralık genişliği ( $n$ ) artırılarak kontrol sınırları daha geniş bir bant aralığına çekilmelidir.
E
Sınırları aşan noktalar sürecin sağa çarpık yapısından kaynaklanan genel nedenli dalgalanmalardır; sistem aslında kararlı olduğundan, sınırı aşan her bir safsızlık ölçümünde sürece anlık müdahale edilerek üretim parametreleri sürekli olarak yeniden ayarlanmalıdır.

Cevap

Doğru yanıt, pozitif otokorelasyonun standart sapmayı eksik tahmin etmesine yol açtığı ve çözüm olarak zaman serisi modeli artıklarının izlenmesi gerektiğini belirten seçenektir.

Pozitif otokorelasyon durumunda ardışık ölçümler birbirine yüksek oranda bağımlıdır. Bu durum, hareketli aralıkların (

MR

) bağımsız rastgele örneklere kıyasla daha küçük çıkmasına neden olur. Bireysel Gözlemler (I) grafiğinde sürecin standart sapması

\hat{\sigma} = \bar{MR} / d_2

formülüyle tahmin edildiğinden,

\bar{MR}

'ın küçülmesi

\hat{\sigma}

'nın eksik tahmin edilmesine ve dolayısıyla kontrol sınırlarının (

CL \pm 3\hat{\sigma}

) çok dar hesaplanmasına yol açar. Dar kontrol sınırları ve dağılımın sağa çarpık olması birleştiğinde, süreçte gerçek bir varyans artışı veya ortalama kayması olmasa dahi noktalar üst kontrol sınırını (UCL) aşarak sürekli Tip I hatası (hatalı alarm) üretir. Bu sorunun İstatistiksel Kalite Kontrol literatüründeki temel çözümü, bağımlılığı modellemek için zaman serisi (örn. ARIMA) kurmak ve otokorelasyondan arındırılmış, bağımsız model artıkları (kalıntıları) üzerinden kontrol grafiği oluşturmaktır.

Adım Adım Çözüm

Otokorelasyonun hareketli aralık (

MR

) üzerindeki matematiksel etkisini analiz etme.

Pozitif otokorelasyon durumunda ardışık değerler birbirine benzeme eğilimindedir, bu nedenle ardışık farkların mutlak değeri (

MR_i = |X_i - X_{i-1}|

) bağımsız duruma göre daha küçük çıkar.

X_i

X_{i-1}

değerleri aynı yönde hareket ettiğinden aralarındaki mesafe daralır.

Standart sapma tahmini (

\hat{\sigma}

) ve kontrol sınırları üzerindeki etkiyi belirleme.

I grafiğinde standart sapma

\hat{\sigma} = \bar{MR}/d_2

formülü ile hesaplandığından, küçük çıkan

\bar{MR}

değeri

\hat{\sigma}

'nın eksik tahmin edilmesine (underestimation) neden olur.

Eksik tahmin edilen standart sapma, Bireysel Gözlemler (I) grafiğinin kontrol sınırlarının (UCL ve LCL) birbirine gereğinden fazla yaklaşmasına ve sınırların aşırı daralmasına yol açar.

Daralan kontrol sınırlarının ve sağa çarpık dağılımın etkilerini birleştirerek yorumlama.

Kontrol sınırları standarttan çok daha dar olduğunda ve sürecin doğal dağılımı sağa doğru uzun bir kuyruk (sağa çarpıklık) oluşturduğunda, safsızlık verisinin normal dalgalanmaları dahi üst kontrol sınırını (UCL) aşar.

Süreçte gerçek bir özel nedenli bozulma (shift) olmasa bile, dar sınırlar nedeniyle sürekli hatalı alarm (Tip I hatası) sinyalleri üretilir.

İleri kalite kontrol teorisinde bu sorun için önerilen en uygun metodolojik çözümü belirleme.

Verideki otokorelasyon yapısını ortadan kaldırmak için ARIMA gibi bir zaman serisi modeli kurulur ve birbirinden bağımsız (ve genellikle daha simetrik dağılan) model artıkları (residuals) bir kontrol grafiğinde izlenir.

Artık değerler (kalıntılar) birbirinden bağımsız olacağından, I-MR grafiğinin temel bağımsızlık varsayımı sağlanmış olur ve hatalı alarmların önüne geçilir.

Anahtar Kavram

Bireysel Gözlemler ve Hareketli Aralık (MR) Grafiklerinde Otokorelasyon ve Dağılımın Etkisi

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular