p-boyutlu uzayda \mathcal{N}_p(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma}) dağılımına sahip bir ver… — KPSS İstatistik

$p$ -boyutlu uzayda $\mathcal{N}_p(\boldsymbol{\mu}, \mathbf{\Sigma})$ dağılımına sahip bir veri seti üzerinden elde edilen örneklem kovaryans matrisi $\mathbf{S}$ , spektral ayrışım (spectral decomposition) teoremi gereğince $\mathbf{S} = \mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^T$ şeklinde yazılabilmektedir. Burada $\mathbf{P}$ , normalize edilmiş özvektörlerden oluşan matrisi; $\mathbf{\Lambda}$ ise özdeğerlerin ( $\lambda_1 \geq \lambda_2 \geq \dots \geq \lambda_p \geq 0$ ) bulunduğu köşegen matrisi ifade etmektedir.

Temel Bileşenler Analizi'nin (TBA) geometrik yorumu ve dönüşüm matrisi $\mathbf{P}$ 'nin diklik (ortogonallik) özellikleri bağlamında aşağıdaki ifadelerden hangisi kesinlikle doğrudur?

$\mathbf{P}$ matrisi ile tanımlanan ortogonal dönüşüm, koordinat eksenlerinin katı bir dönmesi (rigid rotation) olup; veri elipsoidinin yönelimini değiştirirken uzaysal hacmini (genelleştirilmiş varyans) ve izini (toplam varyans) değiştirmez.Cevap
B
Dönüşüm sonucunda elde edilen yeni koordinat sisteminde, veri elipsoidinin temel eksen uzunlukları doğrudan varyans-kovaryans matrisinin özdeğerleri ( $\lambda_i$ ) ile tam olarak eşittir.
C
Varyans açıklama oranını maksimize etmek amacıyla, $\mathbf{P}$ matrisi bileşenler arasındaki korelasyonun sıfır olma kısıtını gevşeterek eksenlerin eğik (oblique) açılarla dönmesine izin verir.
D
Diklik özelliği gereğince $\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}$ olduğundan, dönüştürülmüş bileşenlerin varyanslarının çarpımı ( $\prod \lambda_i$ ), orijinal değişkenlerin varyanslarının toplamına ( $\text{İz}(\mathbf{S})$ ) eşittir.
E
Geometrik olarak yeni oluşturulan bu ortogonal eksenler, değişkenlerin ortak varyansını (communality) açıklayan ve hata varyansından arındırılmış gizil (latent) boyutları temsil eder.

Cevap

\mathbf{P}

matrisi ile tanımlanan ortogonal dönüşüm, koordinat eksenlerinin katı bir dönmesi (rigid rotation) olup; veri elipsoidinin yönelimini değiştirirken uzaysal hacmini (genelleştirilmiş varyans) ve izini (toplam varyans) değiştirmez.

Temel Bileşenler Analizi (TBA), orijinal değişken uzayını yeni ve ortogonal bir eksen sistemine dönüştürür. Bu dönüşümü sağlayan

\mathbf{P}

matrisi bir ortogonal matristir (

\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}

|\mathbf{P}|=1

). Geometrik olarak ortogonal matris ile çarpım işlemi, uzaydaki noktalar arasındaki uzaklıkları ve açıları koruyan bir "katı dönme" (rigid rotation) hareketidir. Katı dönme işleminde, çok değişkenli normal dağılımı temsil eden sabit yoğunluk konturlarının (veri elipsoidi) biçimi ve uzaysal hacmi (determinant,

|\mathbf{S}|

) ile eksenler üzerindeki varyansların toplamı (iz,

\text{İz}(\mathbf{S})

) matematiksel olarak değişmeden kalır. Yeni sistem, elipsoidin eksenlerini temel bileşenlerle çakıştıracak şekilde yönelimi değiştirmiş olur.

Adım Adım Çözüm

Dönüşüm matrisi P'nin cebirsel özelliklerini belirle.

\mathbf{P}

bir ortogonal matristir, yani

\mathbf{P}^T \mathbf{P} = \mathbf{I}

|\mathbf{P}| = \pm 1

(dönme için

+1

) eşitlikleri geçerlidir.

Temel Bileşenler Analizinde özvektörler birbirine diktir ve uzunlukları 1 olacak şekilde normalize edilmiştir.

Ortogonal dönüşümün matris izi (trace) ve determinantı üzerindeki etkilerini incele.

\text{İz}(\mathbf{S}) = \text{İz}(\mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^T) = \text{İz}(\mathbf{\Lambda})

|\mathbf{S}| = |\mathbf{P} \mathbf{\Lambda} \mathbf{P}^T| = |\mathbf{P}|^2 |\mathbf{\Lambda}| = |\mathbf{\Lambda}|

eşitlikleri elde edilir.

Döngüsel iz özelliği (cyclic property of trace) ve determinantın çarpım kuralı gereği ortogonal dönüşümler bu nicelikleri korur.

Elde edilen matematiksel özellikleri geometrik kavramlarla eşleştir.

İz kavramı "toplam varyans"ı, determinant kavramı ise veri elipsoidinin "uzaysal hacmini" (genelleştirilmiş varyans) ifade eder. Hacim ve mesafelerin korunduğu bu dönüşüme geometride "katı dönme (rigid rotation)" denir.

Geometrik yorumlamada TBA, verinin yapısını veya hacmini bozmadan sadece koordinat eksenlerini varyansın en büyük olduğu yönlere doğru çevirir.

Anahtar Kavram

TBA'da Ortogonal Dönüşümün Geometrik Özellikleri

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru