Bir halk sağlığı araştırmacısı, belirli bir kronik hastalığın bir bölgedeki görülme sıklığ… — KPSS İstatistik

Bir halk sağlığı araştırmacısı, belirli bir kronik hastalığın bir bölgedeki görülme sıklığını (kitle oranı, $P$ ) belirlemek için olasılıklı bir örneklem tasarımı uygulamıştır. Araştırmacı, tam sayım yapmak yerine seçtiği örneklem üzerinden kitle oranını tahmin etmek için yansız (unbiased) bir tahmin edici olan $\hat{p}$ 'yi kullanmıştır. Araştırmacı bulgularını sunarken, "örnekleme hatası" kavramının teorik doğası ve istatistiksel özellikleri üzerine odaklanmıştır.

Örnekleme dışı hataların (ölçüm hataları, cevapsızlık, çerçeve hatası vb.) tamamen kontrol altına alındığı ideal bir araştırma ortamında, tek bir örneklemden kaynaklanan örnekleme hatası rastgele bir değişken olarak $e = \hat{p} - P$ şeklinde tanımlanmaktadır.

Buna göre, yansız $\hat{p}$ tahmin edicisi bağlamında örnekleme hatası ( $e$ ) rassal değişkeninin istatistiksel özellikleri hakkında aşağıdakilerden hangisi teorik olarak doğrudur?

Tüm olası örneklemler üzerinden düşünüldüğünde bu hatanın beklenen değeri sıfırdır ve hatanın varyansı, doğrudan $\hat{p}$ tahmin edicisinin varyansına eşittir.Cevap
B
Yansızlık özelliği gereği örneklem istatistiği kitle parametresinin özelliklerini aynen yansıttığından, hatanın beklenen değeri kitle oranına ( $P$ ), varyansı ise örneklem oranına ( $\hat{p}$ ) eşittir.
C
Bu hatanın beklenen değeri, tahmin edicinin standart hatasına ( $\sqrt{V(\hat{p})}$ ) eşittir ve mutlak bir sapma olduğu için her zaman pozitif değer alır.
D
Hatanın beklenen değeri sıfırdır ancak hatanın varyansı, örneklem hacminden ( $n$ ) bağımsız olarak yalnızca kitledeki hastalığın doğal heterojenlik derecesine bağlıdır.
E
Örnekleme hatası doğası gereği veri derleme sürecindeki cevapsızlık, eksik ölçüm veya yanlış beyan gibi problemlerden kaynaklandığı için beklenen değeri sıfırdan farklı sistematik bir sapmadır.

Cevap

Doğru cevap, örnekleme hatasının beklenen değerinin tüm olası örneklemler için sıfır ve hatanın varyansının doğrudan tahmin edicinin kendi varyansına eşit olduğunu belirten ifadedir.

Örnekleme hatası, rassal olarak seçilen bir örneklemden elde edilen tahmin edici (

\hat{p}

) ile gerçek kitle parametresi (

P

) arasındaki farktır (

e = \hat{p} - P

). Tahmin edicimiz yansız olduğu için, tüm olası örneklemlerin ortalamasında sapma beklenmez (

E(\hat{p}) = P

), bu sebeple hatanın beklenen değeri teorik olarak sıfırdır (

E(e)=0

). Varyans hesabı yapıldığında ise

P

kitle düzeyinde sabit bir değer olduğu için varyansı yoktur; dolayısıyla bu ikisi arasındaki farkın varyansı, sadece rastgele değişken olan tahmin edicinin kendi varyansına (

Var(\hat{p})

) eşit kalır.

Adım Adım Çözüm

Örnekleme hatasının matematiksel tanımını yapmak.

Örnekleme hatası, istatistik ile parametre arasındaki fark olarak

e = \hat{p} - P

şeklinde tanımlanır.

Hatanın istatistiksel özelliklerini bulabilmek için öncelikle matematiksel bağıntının netleştirilmesi gerekir.

Hatanın beklenen değerini (

E

) hesaplamak.

Soru metninde

\hat{p}

tahmin edicisinin yansız (unbiased) olduğu belirtilmiştir. Yansızlık özelliği gereği

E(\hat{p}) = P

'dir. Buna göre hatanın beklenen değeri:

E(e) = E(\hat{p} - P) = E(\hat{p}) - P = P - P = 0

bulunur.

Yansız bir tahmin edicinin ortalama sapmasının sıfır olduğunu kanıtlamak için.

Hatanın varyansını (

Var

) hesaplamak.

İstatistiksel varyans özelliklerine göre:

Var(e) = Var(\hat{p} - P) = Var(\hat{p}) + Var(P) - 2Cov(\hat{p}, P)

. Kitle parametresi (

P

) sabit ve deterministik bir değer olduğu için varyansı sıfırdır (

Var(P) = 0

). Bu nedenle denklem sadeleşerek doğrudan

Var(e) = Var(\hat{p})

haline gelir.

Sabit bir parametre ile rassal bir istatistiğin farkının varyansını bulmak için.

Anahtar Kavram

Örnekleme Hatasının Beklenen Değeri ve Varyansı

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru