Hipotez Testleri

101 soru

Parametresi $\lambda > 0$ olan Poisson dağılımına sahip bir kitleden $n$ birimlik bağımsız ve tesadüfi bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) seçilmiştir.

$H_0: \lambda \leq \lambda_0$ yokluk hipotezine karşı $H_1: \lambda > \lambda_0$ alternatif hipotezini test etmek için $\alpha$ anlamlılık düzeyinde tasarlanan düzgün en güçlü (UMP) testin reddetme bölgesi aşağıdakilerden hangisidir?

\sum_{i=1}^n X_i > k

\sum_{i=1}^n X_i < k

k_1 < \sum_{i=1}^n X_i < k_2

\prod_{i=1}^n X_i > k

\sum_{i=1}^n X_i^2 > k

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n X_i > k$

Cevap

Düzgün en güçlü (UMP) testin reddetme bölgesi, toplam istatistiğinin kritik bir değerden büyük olduğu

\sum_{i=1}^n X_i > k

kümesidir.

Poisson dağılımı, toplam istatistiğine (

T = \sum X_i

) göre monoton artan olabilirlik oranına (MLR) sahip bir üstel aile üyesidir. Karlin-Rubin Teoremi uyarınca, sağ taraflı alternatif hipotez (

H_1: \lambda > \lambda_0

) için düzgün en güçlü testin reddetme bölgesi, bu istatistiğin belirlenen bir kritik değerden büyük olduğu durumu ifade eden toplamın

k

değerinden büyük olması şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

Olabilirlik fonksiyonunun yazılması

L(\lambda; x) = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i!}

UMP testi belirlemek için öncelikle kitlenin olabilirlik fonksiyonu tanımlanmalıdır.

Olabilirlik oranının (MLR) incelenmesi

\lambda_2 > \lambda_1

için

\frac{L(\lambda_2)}{L(\lambda_1)} = e^{-n(\lambda_2-\lambda_1)} \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{\sum X_i}

Karlin-Rubin Teoremi'ni uygulayabilmek için oranın test istatistiğine göre monotonluğu kontrol edilmelidir.

Monotonluk yönünün tayini

Oran,

T = \sum X_i

istatistiğinin artan bir fonksiyonudur.

\lambda_2 / \lambda_1 > 1

olduğu için üs büyüdükçe oran artar.

Kritik bölgenin belirlenmesi

T > k

(yani

\sum X_i > k

)

Karlin-Rubin Teoremi uyarınca, MLR artan olduğunda

H_1: \lambda > \lambda_0

için UMP testi sağ kuyruk bölgesidir.

Anahtar Kavram

Karlin-Rubin Teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

ÖncekiSayfa 6 / 6

Hipotez Testleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar