Hipotez Testleri Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik — Sayfa 5

Soru 81Soru →

İstatistiksel bir hipotez testi sürecinde karşılaşılan temel kavramlar ve hata türleri ile ilgili aşağıdaki ifadeler verilmiştir:

I. Hesaplanan p-değeri (p-value), test edilen yokluk hipotezinin ( $H_0$ ) doğru olma olasılığını ifade eder.
II. Anlamlılık düzeyi ( $\alpha$ ) sabit tutulduğunda, örneklem çapının ( $n$ ) artırılması testin gücünü ( $1-\beta$ ) artırır.
III. Örneklem çapı sabit tutulduğunda, I. Tip hata yapma olasılığını ( $\alpha$ ) azaltmak, II. Tip hata yapma olasılığını ( $\beta$ ) da azaltır.
IV. Örneklem çapı ve anlamlılık düzeyi sabitken, gerçek parametre değeri ile $H_0$ altında varsayılan değer arasındaki fark (etki büyüklüğü) arttıkça testin gücü artar.

Buna göre, yukarıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle doğrudur?

I ve IV

II ve III

II ve IV

I, II ve III

III ve IV

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: II ve IV

Cevap

Sadece II ve IV numaralı öncüller doğrudur.

Verilen ifadeler analiz edildiğinde; II. öncülde belirtildiği gibi örneklem çapının artması standart hatayı düşürerek testin gücünü artırır. Benzer şekilde, IV. öncülde belirtildiği gibi gerçek parametre değeri ile iddia edilen değer (etki büyüklüğü) arasındaki fark açıldıkça testin gücü artar. Bu nedenle II ve IV numaralı öncüller kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncülün teorik olarak değerlendirilmesi

I. öncül yanlıştır.

P-değeri,

H_0

hipotezinin doğru olma olasılığı değildir. P-değeri,

H_0

doğru kabul edildiğinde, test istatistiğinin hesaplanan değerini veya ondan daha aşırı bir değeri elde etme olasılığıdır.

2

II. öncülün teorik olarak değerlendirilmesi

II. öncül doğrudur.

Anlamlılık düzeyi (

\alpha

) sabitken, örneklem çapının (

n

) artırılması standart hatayı düşürür. Bu durum,

H_0

ve

H_1

altındaki dağılımların birbirine karışma alanını daraltır ve testin gücünü (

1-\beta

) artırır.

3

III. öncülün teorik olarak değerlendirilmesi

III. öncül yanlıştır.

Örneklem çapı (

n

) sabit tutulduğunda, I. Tip hata olasılığı (

\alpha

) ile II. Tip hata olasılığı (

\beta

) arasında ters bir ilişki vardır.

\alpha

'yı azaltmak (örneğin 0.05'ten 0.01'e çekmek),

\beta

'nın artmasına ve dolayısıyla testin gücünün düşmesine neden olur.

4

IV. öncülün teorik olarak değerlendirilmesi

IV. öncül doğrudur.

Etki büyüklüğü (gerçek değer ile iddia edilen değer arasındaki fark) arttıkça,

H_0

ve

H_1

dağılımlarının merkezleri birbirinden uzaklaşır. Bu durum,

H_0

'ın yanlış olduğunda reddedilmesini kolaylaştırarak testin gücünü artırır.

Anahtar Kavram

Hipotez testlerinde p-değeri tanımı ile I. ve II. Tip hata olasılıkları ve testin gücü arasındaki yapısal ilişkiler.

Soru 82Soru →

Bir $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x; \theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, \quad x > 1

olarak verilmiştir.

$H_0: \theta = 2$ yokluk hipotezi, $H_1: \theta = 1$ alternatif hipotezine karşı tek bir $X$ gözlemi kullanılarak test edilecektir. Bu test için belirlenen red bölgesi (kritik bölge) $X > c$ şeklindedir.

Testin I. tip hata yapma olasılığı (anlamlılık düzeyi) $\alpha = 0,04$ olduğuna göre, testin gücü kaçtır?

0,02

0,04

0,20

0,80

0,96

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $0,20$

Cevap

Doğru cevap

0,20

'dir. Testin gücü hesaplanırken önce verilen anlamlılık düzeyinden kritik değer (

c=5

) bulunur, daha sonra alternatif hipotez altındaki güç fonksiyonu değeri hesaplanır.

Testin gücü (

1-\beta

), alternatif hipotez (

H_1

) doğru kabul edildiğinde testin red bölgesine düşme olasılığıdır. İlk aşamada, yokluk hipotezi (

H_0: \theta=2

) altında I. tip hata olasılığı (

0,04

) integrallenerek

c=5

kritik değeri elde edilir. İkinci aşamada,

H_1: \theta=1

parametresi kullanılarak

X > 5

bölgesinin altında kalan alan hesaplandığında

\frac{1}{5}

yani

0,20

sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Anlamlılık düzeyi (

\alpha

) kullanılarak red bölgesi sınırını (

c

) belirleyen denklemin kurulması.

\alpha = P(X > c \mid \theta = 2) = \int_{c}^{\infty} \frac{2}{x^3} dx = \left[ -x^{-2} \right]_{c}^{\infty} = \frac{1}{c^2}

Testin gücünü bulabilmek için öncelikle H0'ı reddetmemize neden olan

X > c

bölgesinin sayısal sınırını bulmamız gerekir.

2

c

kritik değerinin hesaplanması.

\frac{1}{c^2} = 0,04 \implies c^2 = 25 \implies c = 5

Birinci adımda bulduğumuz integrali, soruda verilen I. tip hata olasılığı olan

0,04

'e eşitleyerek H0 hipotezi için kritik değeri netleştiririz.

3

Bulunan

c

değeri ile alternatif hipotez (

H_1: \theta = 1

) altında testin gücünün hesaplanması.

G\ddot{u}\c{c} = P(X > 5 \mid \theta = 1) = \int_{5}^{\infty} \frac{1}{x^2} dx = \left[ -x^{-1} \right]_{5}^{\infty} = \frac{1}{5} = 0,20

Testin gücü (

1-\beta

), alternatif hipotez doğru iken test istatistiğinin red bölgesine düşme (yani H0'ı doğru bir şekilde reddetme) olasılığıdır.

Anahtar Kavram

Güç Fonksiyonu ve Testin Gücü Hesaplaması

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 83Soru →

İstatistiksel hipotez testleri teorisinde, tek parametreli üstel aileye ait dağılımlardan çekilen rastgele örneklemler için monoton olabilirlik oranı (MLR) özelliği ve Karlin-Rubin teoremi kullanılarak Düzgün En Güçlü (UMP) testler bulunabilmektedir.

Buna göre, $X_1, X_2, \dots, X_n$ bağımsız ve aynı dağılımlı rastgele değişkenler olmak üzere, aşağıdaki hipotez ve dağılım eşleştirmelerinden hangisinde bir Düzgün En Güçlü (UMP) test kesinlikle bulunamaz? (Tüm seçeneklerde $\theta_0$ bilinen bir sabittir.)

X_i \sim \text{Poisson}(\theta)

,

\quad H_0: \theta \leq \theta_0

'a karşı

H_1: \theta > \theta_0

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

,

\quad H_0: \theta \geq \theta_0

'a karşı

H_1: \theta < \theta_0

X_i \sim N(\theta, \sigma^2)

(

\sigma^2

biliniyor),

\quad H_0: \theta = \theta_0

'a karşı

H_1: \theta \neq \theta_0

X_i \sim \text{Gamma}(\alpha, \theta)

(

\alpha

biliniyor),

\quad H_0: \theta = \theta_0

'a karşı

H_1: \theta > \theta_0

X_i \sim N(\mu, \theta)

(

\mu

biliniyor),

\quad H_0: \theta \leq \theta_0

'a karşı

H_1: \theta > \theta_0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $X_i \sim N(\theta, \sigma^2)$ ( $\sigma^2$ biliniyor), $\quad H_0: \theta = \theta_0$ 'a karşı $H_1: \theta \neq \theta_0$

Cevap

Ortalaması bilinmeyen ancak varyansı bilinen Normal dağılımda, çift yönlü alternatif hipoteze (

H_1: \theta \neq \theta_0

) sahip olan durum.

Çift yönlü alternatif hipotezlerde (

H_1: \theta \neq \theta_0

), alternatif hipotezin kapsadığı uzay iki farklı yöne dağıldığı için her iki yönde de testin gücünü aynı anda maksimize edebilen tek bir kritik bölge (red bölgesi) bulunamaz. Bu nedenle, Normal dağılım gibi iyi özellikli tek parametreli üstel ailelerde dahi, çift yönlü alternatif hipotezlere karşı Düzgün En Güçlü (UMP) test teorik olarak yoktur. Bu tür durumlarda ancak Düzgün En Güçlü Yansız (UMPU) test bulunabilir.

Adım Adım Çözüm

1

Seçeneklerdeki dağılımların yapılarını ve hipotezlerin yönlülüğünü (tek yönlü / çift yönlü) analiz et.

Tüm dağılımlar tek parametreli üstel aileye aittir. Yalnızca Normal dağılımlı ortalama testinde çift yönlü (

H_1: \theta \neq \theta_0

) alternatif hipotez verilmiş, diğer tüm seçeneklerde tek yönlü veya basit-bileşik alternatif hipotezler (

>, <

) verilmiştir.

UMP testin varlık koşullarını denetlemek için Karlin-Rubin teoreminin uygulanabilirlik sınırlarını (tek yönlü alternatif şartı) belirlemek.

2

Tek yönlü alternatif hipoteze sahip seçenekleri Karlin-Rubin teoremi ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) açısından değerlendir.

Poisson, Üstel, Gamma ve Normal (varyans parametresi) dağılımlarında MLR özelliği sağlanır. Teorem gereği, bu dağılımlarda tek yönlü alternatif hipotezlere karşı UMP testin varlığı garanti edilir.

Teorik olarak tek parametreli üstel ailelerde tek yönlü testler için Düzgün En Güçlü testlerin daima var olduğunu doğrulamak.

3

Çift yönlü alternatif hipotez durumu için UMP testin varlığını teorik çerçevede incele.

Çift yönlü hipotezde (

H_1: \theta \neq \theta_0

),

\theta > \theta_0

durumu için red bölgesi sağ kuyrukta,

\theta < \theta_0

durumu için ise sol kuyrukta oluşur. Tüm

\theta \neq \theta_0

değerleri için gücü (power) aynı anda en çoklayan ortak (uniformly) bir red bölgesi matematiğin doğası gereği mümkün değildir.

Bir testin 'Düzgün En Güçlü' olabilmesi için alternatif uzayındaki istisnasız tüm noktalar için maksimum güce sahip olması gerekir. Bu şart, eğrileri kesişen çift yönlü güç fonksiyonlarında imkansızdır.

Anahtar Kavram

Çift Yönlü Alternatif Hipotezlerde UMP Testin Yokluğu

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 84Soru →

Bir elektronik sistemde kullanılan belirli bir sensör tipinin arıza süresi $X$ (saat cinsinden) aşağıdaki olasılık yoğunluk fonksiyonuna sahiptir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{x^2} e^{-\frac{\theta}{x}} & x > 0 \\ 0 & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir. $X_1, X_2, \dots, X_n$ bu kitleye ait rastgele bir örneklem olmak üzere,

$H_0: \theta \le \theta_0$
$H_1: \theta > \theta_0$

hipotezlerini test etmek istenmektedir. Karlin-Rubin teoremine göre, bu test için Düzgün En Güçlü (UMP) testin kritik bölgesi (red bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir? ( $k$ , anlamlılık düzeyine bağlı sabit bir sayıdır.)

\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} < k

\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} > k

\sum_{i=1}^n x_i < k

\sum_{i=1}^n x_i > k

\prod_{i=1}^n x_i < k

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} < k$

Cevap

Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi

\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} < k

eşitsizliği ile ifade edilir.

Örneklemin olabilirlik fonksiyonu

L(\theta) = \theta^n (\prod x_i^{-2}) \exp\left(-\theta \sum \frac{1}{x_i}\right)

şeklindedir.

\theta_2 > \theta_1

için olabilirlik oranı

\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} \propto \exp\left(-(\theta_2 - \theta_1) \sum \frac{1}{x_i}\right)

olur. Burada

(\theta_2 - \theta_1) > 0

olduğundan ve üstel ifadede eksi işareti bulunduğundan, bu oran

T(\mathbf{x}) = -\sum \frac{1}{x_i}

istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonudur. Karlin-Rubin teoremine göre

H_1: \theta > \theta_0

için Düzgün En Güçlü (UMP) test, MLR istatistiğinin büyük değerlerinde red kararı verir (

T(\mathbf{x}) > c

). Eşitsizliği yerine yazdığımızda

-\sum \frac{1}{x_i} > c

ifadesi,

\sum \frac{1}{x_i} < k

(burada

k=-c

) biçimine dönüşür. Bu nedenle doğru red bölgesi bu eşitsizlikle ifade edilir.

Adım Adım Çözüm

1

Olabilirlik (Likelihood) fonksiyonunu oluşturun.

L(\theta; \mathbf{x}) = \theta^n (\prod_{i=1}^n x_i^{-2}) \exp\left(-\theta \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}\right)

elde edilir.

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğini incelemek için örneklemin ortak olasılık yoğunluk fonksiyonuna ihtiyaç vardır.

2

\theta_2 > \theta_1

varsayımı ile olabilirlik oranını (Likelihood Ratio) hesaplayın.

\frac{L(\theta_2)}{L(\theta_1)} \propto \exp\left(-(\theta_2 - \theta_1) \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}\right)

bulunur.

Dağılım ailesinin hangi istatistiğe göre monoton olabilirlik oranına (MLR) sahip olduğunu belirlemek için bu oran yazılmalıdır.

3

Oranın monoton artan olduğu

T(\mathbf{x})

istatistiğini belirleyin.

(\theta_2 - \theta_1) > 0

olduğundan ve üstel ifadedeki negatif katsayı nedeniyle, oran

T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i}

istatistiğinin monoton artan bir fonksiyonudur.

Karlin-Rubin teoremini uygulayabilmek için oranın artan olduğu

T(\mathbf{x})

istatistiğinin tam ve doğru tanımlanması şarttır.

4

Karlin-Rubin teoremine göre kritik bölgeyi (red bölgesi) oluşturun.

H_1: \theta > \theta_0

için UMP test

T(\mathbf{x}) > c

olduğunda reddeder. Buradan

-\sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} > c \implies \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} < k

sonucuna varılır.

Sağ kuyruk testlerinde red bölgesi

T

istatistiğinin büyük değerleridir. Ancak istatistik tanımındaki eksi işaretinden dolayı nihai eşitsizlik yön değiştirir.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Karlin-Rubin Teoremi ile UMP Testi

Soru 85Soru →

Bir araştırmacı, istatistiksel hipotez testlerinin teorik altyapısı ve temel kavramları hakkında aşağıdaki değerlendirmeleri yapmıştır:

I. Yokluk hipotezi ( $H_0$ ) daima farksızlık veya kesin bir eşitlik durumunu ( $=, \leq, \geq$ ) ifade ederken, araştırmacının doğruluğunu kanıtlamak istediği iddia genellikle alternatif hipotezde ( $H_1$ ) yer alır.
II. Örneklem hacmi ( $n$ ) sabit tutulduğunda, I. tip hata yapma olasılığı ( $\alpha$ ) ile II. tip hata yapma olasılığı ( $\beta$ ) arasında ters yönlü bir ilişki vardır; bu nedenle $\alpha$ 'nın küçültülmesi testin gücünü ( $1-\beta$ ) artırır.
III. Gerçekte yanlış olan bir yokluk hipotezinin ( $H_0$ ) hipotez testi sonucunda reddedilememesi durumu, II. tip hata olarak tanımlanır.
IV. P-değeri, eldeki veriler ışığında yokluk hipotezinin ( $H_0$ ) doğru olma olasılığını gösterir ve hesaplanan bu değer önceden belirlenen anlamlılık düzeyinden ( $\alpha$ ) küçük olduğunda $H_0$ reddedilir.

Buna göre, araştırmacının yaptığı değerlendirmelerden hangileri doğrudur?

Yalnız I

I ve III

I, II ve III

I, III ve IV

II, III ve IV

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve III

Cevap

Doğru yanıt I ve III numaralı öncülleri içeren seçenektir.

I. öncül, hipotezlerin kurulum kurallarını doğru bir şekilde ifade etmektedir;

H_0

her zaman eşitlik içerir. III. öncülde verilen tanım II. tip hatanın (yanlış olan

H_0

'ın reddedilememesi) tam karşılığıdır. Ancak II. öncülde

\alpha

küçültüldüğünde

\beta

'nın artacağı ve dolayısıyla testin gücünün azalacağı gözden kaçırılmıştır. IV. öncülde ise p-değeri,

H_0

'ın doğru olma olasılığı olarak hatalı tanımlanmıştır. Bu nedenle sadece I ve III ifadeleri kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncülün değerlendirilmesi

I. öncül doğrudur.

Hipotez kurulum kurallarına göre, yokluk hipotezi (

H_0

) her zaman eşitlik (

=, \leq, \geq

) barındırırken, alternatif hipotez (

H_1

) farklılığı veya araştırmacının asıl iddiasını ifade eder.

2

II. öncülün değerlendirilmesi

II. öncül yanlıştır.

Örneklem hacmi sabitken

\alpha

ile

\beta

arasında ters yönlü ilişki olduğu doğrudur. Ancak

\alpha

'nın küçültülmesi

\beta

'yı artırır. Testin gücü (

1-\beta

) hesaplandığından,

\beta

'nın artması testin gücünü düşürür, artırmaz.

3

III. öncülün değerlendirilmesi

III. öncül doğrudur.

Yanlış olan bir

H_0

hipotezinin örneklem verilerine dayanılarak reddedilememesi durumu literatürde II. tip hata (

\beta

) olarak tanımlanmaktadır.

4

IV. öncülün değerlendirilmesi

IV. öncül yanlıştır.

Karar kuralı (p-değeri <

\alpha

ise

H_0

reddedilir) doğru verilmiş olsa da, p-değerinin tanımı hatalıdır. P-değeri,

H_0

doğru varsayıldığında test istatistiğinin hesaplanan değer veya daha uç bir değer alma olasılığıdır;

H_0

'ın doğru olma olasılığını vermez.

5

Sonuçlandırma

Sadece I ve III numaralı öncüller doğrudur.

Yapılan kavramsal analizler sonucunda doğru ifadelerin I ve III olduğu belirlenmiştir.

Anahtar Kavram

Hipotez Testi Hata Tipleri, P-değeri ve Testin Gücü

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 86Soru →

$X_1, X_2, \dots, X_n$ rastgele değişkenleri, $x > 0$ için olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x|\theta) = \theta^2 x e^{-\theta x}

şeklinde verilen dağılımdan alınmış $n$ birimlik bir rastgele örneklem olsun. (Burada $\theta > 0$ bilinmeyen bir parametredir.)

Buna göre, $\theta_2 > \theta_1$ koşulunu sağlayan herhangi iki parametre değeri için, bu dağılım ailesi aşağıdaki istatistiklerden hangisine göre Monoton Olabilirlik Oranına (MLR) sahiptir?

T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n x_i

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n x_i

T(\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n x_i

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n x_i^2

T(\mathbf{x}) = -\prod_{i=1}^n x_i

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n x_i$

Cevap

MLR istatistiği

T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n x_i

olmalıdır.

Olabilirlik oranı hesaplandığında, oranın

\mathbf{x}

'e bağlı kısmının

e^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum x_i}

olduğu görülür.

\theta_2 > \theta_1

varsayımı altında

(\theta_2 - \theta_1)

pozitiftir. Bu nedenle oran,

\sum x_i

değerinin monoton azalan, fakat

-\sum x_i

değerinin monoton artan bir fonksiyonudur. Tanım gereği oranın azalmayan bir fonksiyon olması arandığından, doğru istatistik

T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n x_i

formundadır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemin ortak olasılık yoğunluk (olabilirlik) fonksiyonunu elde etmek.

L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n (\theta^2 x_i e^{-\theta x_i}) = \theta^{2n} \left( \prod_{i=1}^n x_i \right) e^{-\theta \sum_{i=1}^n x_i}

MLR özelliğini incelemek için

\theta

'ya bağlı olabilirlik fonksiyonunun tam formuna ihtiyaç vardır.

2

\theta_2 > \theta_1

koşulu altında olabilirlik oranını (likelihood ratio) yazmak ve sadeleştirmek.

\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} = \frac{\theta_2^{2n} (\prod x_i) e^{-\theta_2 \sum x_i}}{\theta_1^{2n} (\prod x_i) e^{-\theta_1 \sum x_i}} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^{2n} e^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum_{i=1}^n x_i}

Monotonluk durumu, bu iki fonksiyonun oranının örneklem istatistiğine göre nasıl değiştiği incelenerek belirlenir.

3

Elde edilen oranın hangi

T(\mathbf{x})

istatistiğine göre azalmayan (artan) bir fonksiyon olduğunu saptamak.

\theta_2 > \theta_1

olduğundan

\theta_2 - \theta_1 > 0

'dır. Dolayısıyla

e^{-(\theta_2 - \theta_1) \sum x_i}

ifadesi

\sum x_i

arttıkça azalır. Ancak istatistik

T(\mathbf{x}) = -\sum x_i

olarak seçilirse, oran bu istatistiğin monoton artan bir fonksiyonu olur.

Bir ailenin

T(\mathbf{x})

'e göre MLR'ye sahip olması için, oranın

T(\mathbf{x})

ile aynı yönde artması gerekir.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR)

Soru 87Soru →

Bir $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} \frac{\theta}{x^{\theta+1}}, & x \geq 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

Bu dağılımdan çekilen tek bir

X

gözlemine dayanılarak,

H_0: \theta = 2

H_1: \theta = 3

hipotezleri test edilecektir. Neyman-Pearson leması kullanılarak oluşturulan en güçlü testin anlamlılık düzeyi

\alpha = 0,36

olarak belirlenmiştir.

Buna göre, bu testin gücü kaçtır?

0,216

0,488

0,512

0,640

0,784

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: 0,488

Cevap

0,488

Neyman-Pearson lemasına göre en güçlü test,

L(\theta_1)/L(\theta_0) > k

şartını sağlayan bölgedir.

\frac{3/x^4}{2/x^3} = \frac{1,5}{x} > k

eşitsizliği

x < \frac{1,5}{k}

yani

X < c

biçimine dönüşür. Anlamlılık düzeyi (Tip I hata), doğru olan

H_0

'ı reddetme olasılığıdır:

\alpha = P(X < c \mid \theta=2) = \int_1^c 2x^{-3}dx = 1 - c^{-2} = 0,36

. Bu denklemden

c^2 = 100/64

ve

c = 1,25

(yani

5/4

) elde edilir. Testin gücü ise alternatif hipotez doğru iken

H_0

'ı reddetme olasılığıdır (

1-\beta

).

H_1

altında red bölgesinin hesaplanması:

\int_1^{1,25} 3x^{-4}dx = 1 - (1,25)^{-3} = 1 - \frac{64}{125} = 1 - 0,512 = 0,488

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

Neyman-Pearson oranını hesaplayarak red bölgesinin yapısını (eşitsizlik yönünü) belirlemek.

L(\theta_1) / L(\theta_0) = \frac{3/x^4}{2/x^3} = \frac{1,5}{x}

bulunur. Bu oran

x

küçüldükçe büyüyeceğinden, en güçlü testin red bölgesi

X < c

formatındadır.

Neyman-Pearson lemasına göre en güçlü test, alternatif olabilirlik değerinin yokluk olabilirlik değerine oranının belli bir k kritik değerinden büyük olduğu bölgedir.

2

Verilen anlamlılık düzeyi (

\alpha = 0,36

) eşitliğini kullanarak

c

kritik değerini hesaplamak.

\alpha = P(X < c \mid \theta=2) = \int_1^c 2x^{-3}dx = \left[ -x^{-2} \right]_1^c = 1 - \frac{1}{c^2} = 0,36

. Buradan

\frac{1}{c^2} = 0,64 \implies c = 1,25

(

5/4

) olarak elde edilir.

Tip I hata olasılığı (anlamlılık düzeyi), yokluk hipotezi (

H_0

) doğruyken test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır.

3

Bulunan

c = 1,25

değeri ile alternatif hipotez (

H_1

) altında testin gücünü (

1-\beta

) hesaplamak.

Güç

= P(X < 1,25 \mid \theta=3) = \int_1^{1,25} 3x^{-4}dx = \left[ -x^{-3} \right]_1^{1,25} = 1 - \frac{1}{(1,25)^3}

.

(5/4)^3 = 125/64

olduğundan,

1 - \frac{64}{125} = 1 - 0,512 = 0,488

bulunur.

Testin gücü, alternatif hipotez (

H_1

) doğruyken test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması, Tip I Hata (

\alpha

), Tip II Hata (

\beta

) ve Testin Gücü (

1-\beta

)

Tahmini Süre:3m 0s

Soru 88Soru →

Bir hastanenin acil servisine belirli bir saat diliminde gelen vaka sayısı $X$ , $\lambda$ parametreli Poisson dağılımına sahiptir. Acil servise gelen vaka sayısının ortalamasının 2 olup olmadığını test etmek amacıyla aşağıdaki hipotezler kurulmuştur:

H_0 : \lambda = 2

H_1 : \lambda = 4

Bu hipotezi test etmek için bir saatlik rastgele bir gözlem yapılıyor. Karar kuralı olarak, gözlemlenen vaka sayısının 3 veya daha fazla olması ( $X \geq 3$ ) durumunda $H_0$ hipotezinin reddedileceği belirleniyor.

Buna göre, bu hipotez testinin II. Tip Hata yapma olasılığı ( $\beta$ ) aşağıdakilerden hangisidir?

13e^{-4}

1 - 13e^{-4}

1 - 5e^{-2}

5e^{-2}

5e^{-4}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $13e^{-4}$

Cevap

Bu testin II. Tip Hata yapma olasılığı

13e^{-4}

değerine eşittir.

Doğru yanıt olan

13e^{-4}

, alternatif hipotezin doğru olduğu durumda (

\lambda=4

) test istatistiğinin

H_0

'ı reddedemediği bölgeye (

X \leq 2

) düşme olasılığıdır. Poisson dağılım formülünde

\lambda=4

için

x=0, 1, 2

durumlarının olasılıkları toplandığında

e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4} = 13e^{-4}

elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

II. Tip Hata'nın matematiksel tanımını formüle edin.

\beta = P(H_0 \text{ reddedilemez} \mid H_1 \text{ doğru})

II. Tip Hata, gerçekte alternatif hipotez geçerliyken yanlış olan yokluk hipotezini reddedememe durumudur.

2

Karar kuralına göre reddedilememe (kabul) bölgesini belirleyin.

Red bölgesi

X \geq 3

olduğuna göre, reddedilememe bölgesi

X < 3

olur. Dağılım kesikli olduğundan bu durum

X \leq 2

şeklinde ifade edilir.

Olasılığı hesaplanacak olayın sınırlarını tam ve doğru olarak belirlemek için gereklidir.

3

Alternatif hipotezdeki parametreyi kullanarak olasılık denklemini yazın.

H_1

altında

\lambda = 4

'tür. O halde hesaplanacak olasılık

\beta = P(X \leq 2 \mid \lambda = 4)

olacaktır.

II. Tip Hata her zaman alternatif hipotezin varsayıldığı dağılım (

H_1

) üzerinden hesaplanır.

4

Poisson dağılımı olasılık fonksiyonunu uygulayarak değerleri toplayın.

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}

formülünde

\lambda=4

ve

x=0, 1, 2

değerlerini yerine koyun:

P(X=0) = \frac{e^{-4} \cdot 4^0}{0!} = e^{-4}

P(X=1) = \frac{e^{-4} \cdot 4^1}{1!} = 4e^{-4}

P(X=2) = \frac{e^{-4} \cdot 4^2}{2!} = 8e^{-4}

Toplam:

\beta = e^{-4} + 4e^{-4} + 8e^{-4} = 13e^{-4}

İstenen aralıktaki tüm kesikli noktaların olasılıklarının toplamı toplam hata olasılığını verir.

Anahtar Kavram

II. Tip Hata (

\beta

), alternatif hipotezin (

H_1

) parametre değeri altında test istatistiğinin red bölgesine düşmeme (kabul bölgesinde kalma) olasılığıdır.

Soru 89Soru →

Bir üretim bandından alınan örneklem üzerinden, ürünlerin ortalama ağırlığının $500$ gram olduğu sıfır hipotezine ( $H_0: \mu = 500$ ) karşı, ortalamanın $500$ gramdan farklı olduğu alternatif hipotezi ( $H_1: \mu \neq 500$ ) test edilmektedir. Kalite kontrol uzmanı, örneklem hacmini ( $n$ ) sabit tutarak testin anlamlılık düzeyini ( $\alpha$ ) başlangıçta belirlediği $0.05$ yerine $0.01$ olarak güncellemiş ve analiz sonucunda testin $p$ -değerini $0.028$ olarak hesaplamıştır.

Güncellenen anlamlılık düzeyine göre karar süreci ve testin temel kavramları dikkate alındığında, aşağıdakilerden hangisi istatistiksel olarak doğrudur?

Hesaplanan

p

-değeri güncel anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için

H_0

hipotezi reddedilemez; bu kararla yalnızca II. Tip hata yapma riski alınmış olup, testin gücü ilk duruma göre azalmıştır.

Elde edilen

p

-değeri (

0.028

), ürünlerin ortalama ağırlığının tam olarak

500

gram olma olasılığını gösterdiğinden

H_0

reddedilemez ve testin gücü artar.

Anlamlılık düzeyinin

0.05

'ten

0.01

'e düşürülmesi, örneklem hacmi sabitken hem I. Tip hem de II. Tip hata riskini eşzamanlı olarak azaltmıştır.

Güncel

\alpha

düzeyinde

p

-değeri referans alınarak

H_0

reddedilir; dolayısıyla uzman, sorunsuz üretim sürecini hatalı olarak değerlendirme (I. Tip hata) riski üstlenir.

Anlamlılık düzeyi küçültüldüğü için

H_0

reddedilemez; ancak bu durum I. Tip hata yapma riskini sınırlandırdığından testin doğru karar verme gücü (

1-\beta

) ilk duruma göre artış gösterir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Hesaplanan $p$ -değeri güncel anlamlılık düzeyinden büyük olduğu için $H_0$ hipotezi reddedilemez; bu kararla yalnızca II. Tip hata yapma riski alınmış olup, testin gücü ilk duruma göre azalmıştır.

Cevap

Hesaplanan p-değerinin güncel anlamlılık düzeyinden büyük olması nedeniyle H0 hipotezinin reddedilememesi, bu süreçte sadece II. Tip hata riskinin doğması ve anlamlılık düzeyinin küçültülmesinin testin gücünü azaltması bulgularını içeren ifadedir.

Verilen senaryoda

p

-değeri (

0.028

), güncellenen

\alpha

düzeyinden (

0.01

) büyüktür. Bu durumda temel kural gereği

H_0

hipotezi reddedilemez. Bir testte

H_0

hipotezi reddedilemiyorsa, o aşamadan itibaren I. Tip hata yapma riski ortadan kalkar; geriye sadece yanlış olduğu halde

H_0

'ı kabul etme riski olan II. Tip hata kalır. İkinci olarak, örneklem hacmi sabit tutulduğunda I. Tip hata payını (

\alpha

) küçültmek, dağılımdaki kritik değeri sağa/sola kaydırarak red bölgesini daraltır. Bu durum, II. Tip hata yapma olasılığını (

\beta

) mekanik olarak artırır. Testin gücü (

1-\beta

) olduğuna göre,

\beta

'nın artması testin gücünün azalması anlamına gelir.

Adım Adım Çözüm

1

Hesaplanan

p

-değeri ile güncel anlamlılık düzeyini (

\alpha

) karşılaştırarak karar verin.

p = 0.028

ve

\alpha = 0.01

olarak verilmiştir.

0.028 > 0.01

olduğundan

H_0

hipotezi reddedilemez.

Hipotez testlerinde kural olarak

p \leq \alpha

ise

H_0

reddedilir,

p > \alpha

ise

H_0

reddedilemez.

2

Alınan karara bağlı olarak hangi hata tipinin (I. Tip veya II. Tip) yapılabileceğini tespit edin.

H_0

reddedilemediği için bu durumda yalnızca II. Tip hata (yanlış olan bir

H_0

'ı reddedememe) yapılabilir.

I. Tip hata sadece

H_0

doğruyken reddedildiğinde gerçekleşir; dolayısıyla reddetmeme kararında I. Tip hata riski yoktur.

3

Örneklem hacmi (

n

) sabitken

\alpha

'nın

0.05

'ten

0.01

'e düşürülmesinin testin gücü üzerindeki etkisini değerlendirin.

\alpha

'nın azaltılması, II. Tip hata yapma olasılığını (

\beta

) artırır. Testin gücü (

1-\beta

) olduğundan, güç ilk duruma göre azalır.

Örneklem büyüklüğü değiştirilmediğinde alfa ve beta ters orantılıdır. Alfa (red bölgesi) daraldıkça, yanlış bir hipotezi yakalamak (reddetmek) zorlaşır.

Anahtar Kavram

Hata Tipleri,

P

-değeri Yorumu ve Testin Gücü

Soru 90Soru →

Bir istatistiksel hipotez testi sürecinde karşılaşılan temel kavramlar ve hata türleri arasındaki ilişkiler değerlendirilmektedir.

I. Örneklem hacmi ( $n$ ) sabit tutulduğunda, araştırmacı I. Tip Hata yapma olasılığını ( $\alpha$ ) azaltmaya karar verirse, testin gücü ( $1-\beta$ ) artar.
II. İstatistiksel analiz sonucunda elde edilen $p$ -değeri, eldeki örneklem verilerine dayanarak yokluk hipotezinin ( $H_0$ ) doğru olma olasılığını ifade eder.
III. Belirlenmiş sabit bir $\alpha$ anlamlılık düzeyinde, gerçek kitle parametresi ile $H_0$ hipotezinde öne sürülen değer arasındaki fark büyüdükçe testin II. Tip Hata yapma olasılığı ( $\beta$ ) azalır.
IV. Hipotez testi sonucunda hesaplanan test istatistiği ret bölgesine düşmediği için $H_0$ reddedilemediğinde, araştırmacının I. Tip Hata yapmış olma ihtimali ortadan kalkar; sadece II. Tip Hata yapma riski söz konusu olur.
V. Hipotez kurulum kuralları gereği, araştırmacının doğruluğunu kanıtlamak istediği asıl iddia genellikle alternatif hipotez ( $H_1$ ) olarak belirlenirken, yokluk hipotezi ( $H_0$ ) daima bir eşitlik ( $=$ , $\le$ , $\ge$ ) durumu içerir.

Buna göre, yukarıdaki ifadelerden hangileri kesinlikle doğrudur?

III ve IV

I, II ve V

III, IV ve V

I, III, IV ve V

II, III, IV ve V

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: III, IV ve V

Cevap

Sadece III, IV ve V numaralı ifadeler kesinlikle doğrudur.

Öncüller incelendiğinde; alfa ve beta arasındaki ters ilişki nedeniyle alfa düştüğünde testin gücü azalır (I yanlış). P-değeri H0'ın değil, mevcut verilerin görülme olasılığıdır (II yanlış). Etki büyüklüğü arttıkça dağılımlar birbirinden uzaklaşacağı için beta düşer (III doğru). H0 reddedilmediği durumda mantıksal olarak H0'ı haksız yere reddetme hatası (I. Tip Hata) yapılamaz (IV doğru). Son olarak, bilimsel iddiaların kurgulanmasında H1 araştırmacının lehine kanıt aradığı önermedir, H0 ise daimaeşitlik durumunu tanımlar (V doğru). Dolayısıyla sadece III, IV ve V kesinlikle doğrudur.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncülün teorik geçerliliğini analiz etme

I. öncül yanlıştır.

Örneklem hacmi sabitken, alfa olasılığı küçültüldüğünde kritik red bölgesi daralır ve beta (II. Tip Hata) olasılığı artar. Testin gücü 1-beta olduğundan, güç artmaz aksine azalır.

2

II. öncülün doğruluğunu p-değeri tanımı üzerinden inceleme

II. öncül yanlıştır.

P-değeri, H0 doğru kabul edildiğinde mevcut örneklem istatistiğine eşit veya daha aşırı bir sonuç elde etme olasılığıdır (P(Veri|H0)). H0'ın kendi olasılığını (P(H0|Veri)) ifade etmez.

3

III. öncüldeki etki büyüklüğü ve beta ilişkisini değerlendirme

III. öncül doğrudur.

Gerçek kitle parametresi ile iddia edilen parametre arasındaki mutlak fark arttıkça H0 ve H1 dağılımlarının kesişim alanı daralır, bu durum beta'yı azaltır ve testin gücünü artırır.

4

IV. öncüldeki hipotez kararı sonrası hata risklerini saptama

IV. öncül doğrudur.

I. Tip Hata eylemsel olarak ancak H0 reddedildiğinde yapılabilir. H0 reddedilmediği durumlarda, I. Tip Hata yapma olasılığı kavramsal olarak sıfırdır; yalnızca yanlış bir H0'ı reddedememe (II. Tip Hata) riski doğar.

5

V. öncüldeki hipotez kurulum kurallarını doğrulama

V. öncül doğrudur.

Test istatistiğinin dağılımının sınırlarının net çizilebilmesi için H0 daima eşitlik barındırmalıdır. İspatlanmak istenen iddia ise alternatif hipotez (H1) üzerinden kurgulanır.

Anahtar Kavram

Hipotez Testlerinde Hata Tipleri, Güç ve P-değeri Yorumu

Soru 91Soru →

Bir bakanlık uzmanı, istihdam teşviklerinin bölgesel işsizlik oranları üzerindeki etkisini incelemek için veriler toplamış ve analiz sürecine geçmiştir. Karar verme aşamasında hata tiplerini ve anlamlılık düzeyini dikkate alan bu uzmanın, temel kavramlar üzerine kurduğu aşağıdaki ifadelerden hangisi istatistiksel olarak yanlıştır?

Örneklem büyüklüğünü değiştirmeden birinci tip hata riskini (

\alpha

) daha düşük bir seviyeye çekersem, ikinci tip hata olasılığı (

\beta

) artacak ve testin gücü (

1-\beta

) zayıflayacaktır.

Sıfır hipotezinin (

H_0

) gerçekte yanlış olduğu bir durumda, elde ettiğim kanıtların yetersizliği nedeniyle hipotezi reddedememem durumu ikinci tip hata olarak adlandırılır.

Analiz sonucunda hesapladığım

p

-değerinin

0.03

çıkması, istihdam teşviklerinin etkisiz olduğunu öne süren sıfır hipotezinin (

H_0

) doğru olma ihtimalinin \%3 olduğunu kanıtlar.

Anlamlılık düzeyini (

\alpha

) sabit tutarak analize daha fazla ilin verisini dâhil etmem, standart hatayı düşüreceği için genellikle testin gücünü (

1-\beta

) artıracaktır.

Test sonucunda elde ettiğim

p

-değeri, araştırmanın en başında belirlediğim

\alpha

anlamlılık düzeyinden küçük çıkarsa, sıfır hipotezini (

H_0

) reddetme kararı almalıyım.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: Analiz sonucunda hesapladığım $p$ -değerinin $0.03$ çıkması, istihdam teşviklerinin etkisiz olduğunu öne süren sıfır hipotezinin ( $H_0$ ) doğru olma ihtimalinin \%3 olduğunu kanıtlar.

Cevap

P-değerinin sıfır hipotezinin doğru olma olasılığı olarak yorumlandığı ifade yanlıştır.

P-değerini sıfır hipotezinin doğru olma olasılığı olarak tanımlayan ifade istatistiksel açıdan kesinlikle hatalıdır. P-değeri, sıfır hipotezi doğru kabul edildiğinde, mevcut verilerin (veya daha uç verilerin) elde edilme olasılığını gösterir. Hipotezlerin kendi olasılıklarını ifade etmez. Bu nedenle hesaplanan \%3'lük değer, hipotezin doğru olma olasılığı değil,

H_0

doğruyken bu tür bir verinin görülme ihtimalidir.

Adım Adım Çözüm

1

Hata tipleri ve güç arasındaki teorik ilişkiler değerlendirilir.

Örneklem hacmi sabitken

\alpha

küçülürse

\beta

artar (güç düşer); örneklem hacmi büyürse testin gücü artar. Gerçekte yanlış olan

H_0

'ın reddedilememesi ise ikinci tip hata olarak tanımlanır.

Bu temel teorik özellikler, uzman tarafından kurulan hata ve güç ile ilgili ifadelerin doğru kurgulandığını gösterir.

2

Hipotez testlerinde p-değeri üzerinden karar kuralı incelenir.

Hesaplanan

p

-değeri, belirlenen anlamlılık düzeyi

\alpha

'dan küçük ise

H_0

reddedilir.

Bu standart istatistiksel karar alma kuralı, hipotezin reddedilme şartını belirten ilgili ifadenin de doğru bir çıkarım olduğunu doğrular.

3

P-değerinin kavramsal tanımı analiz edilerek yanlış ifade tespit edilir.

P-değeri,

H_0

doğruyken mevcut gözlemlerin veya daha uç gözlemlerin elde edilme olasılığıdır. Asla hipotezin kendi doğruluğunun veya yanlışlığının bir olasılığını vermez.

Sıfır hipotezinin doğru olma ihtimalini \%3 olarak belirten yorum istatistiksel açıdan temel bir kavram yanılgısıdır ve bu sebeple aranan yanlış ifadedir.

Anahtar Kavram

P-değeri, Hata Tipleri ve Testin Gücü

Soru 92Soru →

Bir araştırmacı, bir popülasyondaki belirli bir değişkenin davranışını analiz etmek amacıyla $x \ge 1$ ve $\theta > 0$ olmak üzere olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(x|\theta) = \frac{\theta}{x^{\theta+1}}

ile verilen Pareto dağılımını kullanmaktadır. Bu popülasyondan alınan $n$ birimlik rastgele örneklem $X_1, X_2, \dots, X_n$ ile gösterilmektedir.

Araştırmacı, $H_0: \theta \ge \theta_0$ yokluk hipotezini $H_1: \theta < \theta_0$ alternatif hipotezine karşı test etmek istemektedir.

Bir dağılım ailesinin, her $\theta_2 > \theta_1$ için $\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})}$ olabilirlik oranının $T(\mathbf{x})$ istatistiğinin artan bir fonksiyonu olması durumunda, $T(\mathbf{x})$ 'e göre Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) özelliğine sahip olduğu bilinmektedir.

Buna göre, bu dağılım ailesinin MLR özelliğini sağladığı $T(\mathbf{x})$ istatistiği ve Karlin-Rubin teoremi uyarınca bu test için Düzgün En Güçlü (UMP) testin red bölgesi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir? ( $k$ sabit bir kritik değeri göstermektedir.)

T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

olup, red bölgesi

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge k

şeklindedir.

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln(X_i)

olup, red bölgesi

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \le k

şeklindedir.

T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

olup, red bölgesi

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \le k

şeklindedir.

T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n X_i

olup, red bölgesi

\sum_{i=1}^n X_i \ge k

şeklindedir.

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n \ln(X_i)

olup, red bölgesi

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge k

şeklindedir.

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i)$ olup, red bölgesi $\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge k$ şeklindedir.

Cevap

Doğru seçenek

T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

olup, red bölgesinin

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge k

şeklinde verildiği seçenektir.

Olabilirlik oranı incelendiğinde ifadenin

\exp(-(\theta_2-\theta_1)\sum \ln X_i)

barındırdığı görülür.

\theta_2 > \theta_1

varsayımı altında üstel katsayı negatiftir, dolayısıyla bu fonksiyon ancak

T(\mathbf{x}) = -\sum \ln X_i

istatistiğine göre monoton artandır. İkinci aşamada, test edilen yokluk hipotezi

H_0: \theta \ge \theta_0

ve alternatif hipotez

H_1: \theta < \theta_0

şeklindedir. Karlin-Rubin teoremine göre, MLR istatistiği cinsinden red bölgesi alternatif hipotezin yönüne uygun olarak küçük değerleri (

T(\mathbf{x}) \le c

) içermelidir.

T(\mathbf{x})

yerine konulduğunda

-\sum \ln X_i \le c

eşitsizliği elde edilir ve her iki taraf eksi ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirerek

\sum \ln X_i \ge k

nihai red bölgesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklemin ortak olasılık (olabilirlik) fonksiyonunu yazın.

L(\theta|\mathbf{x}) = \prod_{i=1}^n \theta X_i^{-(\theta+1)} = \theta^n \prod_{i=1}^n X_i^{-(\theta+1)}

Monoton olabilirlik oranını (MLR) bulmak için öncelikle olabilirlik fonksiyonunun tanımlanması gerekir.

2

Herhangi

\theta_2 > \theta_1

için olabilirlik oranını (

\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})}

) oluşturun.

\frac{L(\theta_2|\mathbf{x})}{L(\theta_1|\mathbf{x})} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \frac{\prod X_i^{-(\theta_2+1)}}{\prod X_i^{-(\theta_1+1)}} = \left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \prod_{i=1}^n X_i^{-(\theta_2 - \theta_1)}

MLR özelliğinin hangi istatistiğe göre monoton artan olduğunu belirlemek için oransal fonksiyon incelenmelidir.

3

Olabilirlik oranını üstel fonksiyona çevirerek

T(\mathbf{x})

istatistiğini tespit edin.

Oran,

\left(\frac{\theta_2}{\theta_1}\right)^n \exp\left( -(\theta_2-\theta_1)\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \right)

şeklinde yazılabilir.

\theta_2 - \theta_1 > 0

olduğu için, bu ifade

\sum \ln(X_i)

'ye göre azalan,

- \sum \ln(X_i)

'ye göre ise artandır. Bu nedenle

T(\mathbf{x}) = -\sum_{i=1}^n \ln(X_i)

'dir.

Sorudaki tanım gereği oran

T(\mathbf{x})

'in artan bir fonksiyonu olmalıdır.

4

Karlin-Rubin teoremine göre, testin red bölgesinin yönünü alternatif hipoteze bakarak belirleyin.

Test

H_0: \theta \ge \theta_0

hipotezine karşı

H_1: \theta < \theta_0

yönündedir. Karlin-Rubin'e göre alternatif hipotez parametrenin daha 'küçük' değerlerini gösterdiği için red bölgesi de

T(\mathbf{x}) \le c

olmalıdır.

UMP testlerinde red bölgesi MLR istatistiği üzerinden alternatif hipotezin yönüyle paralel kurgulanır.

5

T(\mathbf{x}) \le c

eşitsizliğinde istatistiği yerine koyarak örneklem değerleri cinsinden nihai red bölgesini bulun.

- \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \le c \implies \sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge -c

. Eşitsizliğin sağ tarafına

k

sabitini atarsak red bölgesi

\sum_{i=1}^n \ln(X_i) \ge k

olarak bulunur.

Sınav formatındaki seçeneklerde istenen matematiksel yapıya ulaşmak için eşitsizlik düzenlenmelidir.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Karlin-Rubin Teoremi

Soru 93Soru →

Bir elektronik parçanın çalışma ömrünün (saat), beklenen değeri $\theta$ olan üstel dağılıma sahip olduğu bilinmektedir.

Rastgele seçilen $n=2$ adet parçanın ömürleri sırasıyla $X_1$ ve $X_2$ olmak üzere;
$H_0: \theta = 1$
$H_1: \theta = 2$
hipotezleri test edilecektir.

Karar kuralı olarak, parçaların ömürleri toplamı $Y = X_1 + X_2 \ge 3$ olduğunda $H_0$ hipotezinin reddedilmesi belirlenmiştir.

Buna göre, bu hipotez testinin gücü aşağıdakilerden hangisine eşittir?

\frac{5}{2}e^{-1,5}

1 - \frac{5}{2}e^{-1,5}

4e^{-3}

1 - 4e^{-3}

\frac{3}{2}e^{-1,5}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\frac{5}{2}e^{-1,5}$

Cevap

\frac{5}{2}e^{-1,5}

Testin gücü, alternatif hipotez (

H_1

) doğru kabul edildiğinde test istatistiğinin red bölgesine düşme olasılığıdır. Soruda

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

olarak verildiği için

n=2

birimlik örneklem toplamı

Y \sim \text{Gamma}(2, \theta)

dağılımına sahip olur.

H_1

koşulu altında

\theta = 2

değerini alır ve yoğunluk fonksiyonu

f(y) = \frac{y}{4} e^{-y/2}

olarak elde edilir. Red bölgesi

Y \ge 3

olduğundan testin gücü;

\int_{3}^{\infty} \frac{y}{4} e^{-y/2} dy

integralinin sonucudur. Kısmi integrasyon kuralı işletildiğinde hesaplanan kesin değer

\frac{5}{2}e^{-1,5}

olmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem toplamı olan Y istatistiğinin genel dağılımını belirle.

X_i \sim \text{Üstel}(\theta)

olduğundan toplamları

Y = X_1 + X_2 \sim \text{Gamma}(\alpha=2, \beta=\theta)

dağılımına sahip olur. Olasılık yoğunluk fonksiyonu:

f(y) = \frac{y}{\theta^2} e^{-y/\theta}, \quad y > 0

şeklindedir.

Karar kuralı doğrudan Y istatistiği üzerinden tanımlandığı için bu istatistiğin örnekleme dağılımına ihtiyaç vardır.

2

Alternatif hipotez (

H_1

) varsayımı altında Y'nin dağılımını yaz.

H_1

altında

\theta = 2

olduğu için, Y'nin olasılık yoğunluk fonksiyonu

f(y) = \frac{y}{4} e^{-y/2}

haline gelir.

Testin gücü, istatistiğin alternatif hipotez altındaki dağılımı üzerinden kritik bölgeye düşme olasılığının hesaplanmasıdır.

3

Testin gücünü veren belirli integrali kur.

Güç

= P(Y \ge 3 \mid \theta = 2) = \int_{3}^{\infty} \frac{y}{4} e^{-y/2} dy

Karar kuralında red bölgesi

Y \ge 3

olarak verilmiştir.

4

Kısmi integrasyon yöntemini kullanarak integralin çözümünü hesapla.

İntegralde

u = y/2

ve

dv = 1/2 e^{-y/2} dy

dönüşümü yapılırsa; sonuç

\left[ -e^{-y/2}(\frac{y}{2} + 1) \right]_{3}^{\infty} = 0 - \left( -e^{-1,5}(1,5 + 1) \right) = \frac{5}{2}e^{-1,5}

olarak bulunur.

Matematiksel olarak olabilirlik olasılığını sonlu bir cebirsel değere ulaştırmak için analitik çözüm gereklidir.

Anahtar Kavram

Testin Gücü ve Gamma Dağılımı

Soru 94Soru →

Bir biyomedikal araştırmacısı, geliştirdiği yeni bir teşhis kitinin doğruluk oranının mevcut standart kitlerden daha yüksek olup olmadığını sınamak amacıyla klinik veriler üzerinden bir hipotez testi yürütmektedir. Araştırmacı, yürüttüğü bu istatistiksel test sürecine dair çalışma notlarında aşağıdaki ifadelere yer vermiştir:

I. Testin anlamlılık düzeyini ( $\alpha$ ) $0,05$ 'ten $0,01$ 'e çektiğimde, diğer tüm koşullar sabitken testin gücünün ( $1-\beta$ ) artmasını beklerim.
II. Analiz sonucunda p-değerinin $0,04$ çıkması, mevcut standart kitin geçerli olduğunu savunan sıfır hipotezinin ( $H_0$ ) $\%4$ olasılıkla doğru olduğunu kanıtlar.
III. Hesaplanan test istatistiği ret bölgesine düşmediğinde sıfır hipotezinin ( $H_0$ ) kesin olarak doğru olduğu ispatlanmış olmaz; yalnızca onu reddetmek için yeterli istatistiksel kanıt bulunmadığı sonucuna varılır.
IV. Anlamlılık düzeyini ( $\alpha$ ) değiştirmeden test edilen hasta sayısını (örneklem hacmini) artırmak, yeni kitin gerçekten daha başarılı olması durumunda bu farkı tespit edebilme olasılığımı yükseltir.

Buna göre, araştırmacının çalışma notlarındaki ifadelerden hangileri istatistiksel olarak yanlıştır?

Yalnız I

Yalnız II

I ve II

II ve III

I ve IV

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I ve II

Cevap

I ve II numaralı öncüllerdeki ifadeler yanlıştır. Doğru cevap 'I ve II' seçeneğidir.

I. öncülde

\alpha

(I. Tip Hata) ile testin gücü (

1-\beta

) arasındaki ilişki hatalı kurulmuştur;

\alpha

azalırsa

\beta

artar ve dolayısıyla testin gücü düşer. II. öncülde ise istatistikte en sık karşılaşılan 'p-değeri yanılgısı' yer almaktadır; p-değeri

H_0

'ın doğru olma ihtimalini vermez. III. ve IV. öncüller ise bilimsel araştırmalarda hipotez testi sonuçlarının teorik olarak tamamen doğru yorumlarıdır. Bizden yanlış olanlar istendiği için doğru eşleşme I ve II ifadelerini içeren seçenektir.

Adım Adım Çözüm

1

I. öncüldeki anlamlılık düzeyi (alfa) ile testin gücü ilişkisini analiz etme

I. öncül yanlıştır.

Anlamlılık düzeyi (

\alpha

), I. Tip hata yapma olasılığıdır.

\alpha

değerini

0,05

'ten

0,01

'e düşürmek,

H_0

'ı reddetmeyi zorlaştırır. Bu durum, yanlış olan bir

H_0

'ı reddedememe olasılığını (II. Tip hata,

\beta

) artırır. Testin gücü (

1-\beta

) olduğu için

\beta

artarsa testin gücü azalır.

2

II. öncüldeki p-değeri (p-value) tanımını değerlendirme

II. öncül yanlıştır.

P-değeri, sıfır hipotezinin (

H_0

) doğru olma olasılığı değildir. P-değeri;

H_0

doğru kabul edildiğinde, mevcut verilerin veya daha aşırı verilerin elde edilme olasılığıdır.

3

III. öncüldeki ret edilemeyen hipotezin yorumunu inceleme

III. öncül doğrudur.

Bir hipotez testinde

H_0

reddedilemediğinde bu onun %100 doğru olduğunu kanıtlamaz. Yalnızca eldeki örneklem kanıtlarının,

H_0

'ı reddedip

H_1

'i kabul etmek için yeterli istatistiksel güce veya anlama sahip olmadığını gösterir.

4

IV. öncüldeki örneklem hacmi ile testin gücü ilişkisini inceleme

IV. öncül doğrudur.

Diğer tüm koşullar (

\alpha

, etki büyüklüğü vb.) sabitken, örneklem hacmi (

n

) artırıldığında standart hata küçülür, dağılımlar daralır ve gerçek bir farkı tespit edebilme gücü (

1-\beta

) her zaman artar.

Anahtar Kavram

Hipotez testlerinde I. ve II. Tip Hatalar, Testin Gücü ve P-değeri Yorumlaması

Tahmini Süre:1m 0s

Soru 95Soru →

Bir $X$ rassal değişkeninin olasılık yoğunluk fonksiyonu aşağıda verilmiştir:

f(x; \theta) = \begin{cases} e^{-(x-\theta)}, & x \geq \theta \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

$H_0 : \theta = 0$ yokluk hipotezi, $H_1 : \theta = 1$ alternatif hipotezine karşı tek bir $X$ gözlemi ile test edilecektir.

Belirlenen red bölgesi $X > 2$ olduğuna göre, bu testin I. tip hata olasılığı ( $\alpha$ ) ve II. tip hata olasılığı ( $\beta$ ) sırasıyla aşağıdakilerden hangisidir?

e^{-2}

ve

1 - e^{-1}

1 - e^{-2}

ve

1 - e^{-1}

e^{-2}

ve

e^{-1}

1 - e^{-2}

ve

e^{-1}

1 - e^{-1}

ve

e^{-2}

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $e^{-2}$ ve $1 - e^{-1}$

Cevap

I. tip hata olasılığı

e^{-2}

ve II. tip hata olasılığı

1 - e^{-1}

'dir.

I. tip hata (

\alpha

),

H_0

doğru iken

H_0

'ın reddedilmesi olasılığıdır. Bu nedenle

\alpha = P(X > 2 \mid \theta = 0) = \int_2^\infty e^{-x} dx = e^{-2}

olarak bulunur. II. tip hata (

\beta

),

H_1

doğru iken

H_0

'ın reddedilememesi olasılığıdır. Bu olasılık

\beta = P(X \leq 2 \mid \theta = 1)

ile ifade edilir.

\theta=1

durumunda olasılık yoğunluk fonksiyonu sadece

x \geq 1

için sıfırdan farklı olduğu için integral

1

'den

2

'ye kadar alınır:

\beta = \int_1^2 e^{-(x-1)} dx = \left[-e^{-(x-1)}\right]_1^2 = 1 - e^{-1}

sonucu elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1

I. Tip Hata (

\alpha

) tanımını yazmak ve integral sınırlarını belirlemek.

\alpha = P(X > 2 \mid \theta = 0)

I. tip hata, yokluk hipotezi (

H_0

) doğru iken test istatistiğinin red bölgesine düşmesi olasılığıdır.

2

Verilen yoğunluk fonksiyonunda

\theta=0

koyarak

\alpha

'yı hesaplamak.

\alpha = \int_2^\infty e^{-x} dx = \left[-e^{-x}\right]_2^\infty = 0 - (-e^{-2}) = e^{-2}

\theta=0

olduğunda fonksiyon

x \geq 0

için

f(x)=e^{-x}

olur ve red bölgesi

X>2

'dir.

3

II. Tip Hata (

\beta

) tanımını yazmak ve integral sınırlarını belirlemek.

\beta = P(X \leq 2 \mid \theta = 1)

II. tip hata, alternatif hipotez (

H_1

) doğru iken test istatistiğinin kabul bölgesinde kalması olasılığıdır.

4

Verilen yoğunluk fonksiyonunda

\theta=1

koyarak

\beta

'yı hesaplamak.

\beta = \int_1^2 e^{-(x-1)} dx = \left[-e^{-(x-1)}\right]_1^2 = -e^{-1} - (-e^0) = 1 - e^{-1}

\theta=1

olduğunda fonksiyon

x \geq 1

için

f(x)=e^{-(x-1)}

olur. Bu nedenle kabul bölgesinin integrali alınırken alt sınır

1

'den başlatılmalıdır.

Anahtar Kavram

I. ve II. Tip Hatalar ile Testin Gücü

Alternatif Yöntem

1-\beta

alanını hesaplayıp (Testin Gücü), bulduğunuz sonucu

1

'den çıkartarak da

\beta

değerine ulaşabilirsiniz. Testin gücü

= P(X > 2 \mid \theta = 1) = \int_2^\infty e^{-(x-1)} dx = e^{-1}

olacağından,

\beta = 1 - e^{-1}

elde edilir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 96Soru →

Bir elektronik eşya üreticisi, ürettiği bataryaların kullanım ömrünün normal dağılıma sahip olduğunu ve standart sapmasının $\sigma = 15$ saat olduğunu bilmektedir. Bataryaların ortalama kullanım ömrü ( $\mu$ ) ile ilgili kurulan,

$H_0: \mu = 100$ saat
$H_1: \mu = 109$ saat

hipotezlerini test etmek için rastgele $n = 25$ adet batarya seçilmiş ve örneklem ortalaması ( $\bar{X}$ ) hesaplanmıştır. Bu test için belirlenen karar kuralına göre, eğer $\bar{X} > 106$ saat ise $H_0$ hipotezi reddedilecektir.

Buna göre, bu testin anlamlılık düzeyi ( $\alpha$ ) ve II. tip hata yapma olasılığı ( $\beta$ ) aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

(Standart normal dağılım tablosundan bazı değerler: $P(Z \leq 1) = 0.8413$ , $P(Z \leq 2) = 0.9772$ )

\alpha = 0.0228

ve

\beta = 0.1587

\alpha = 0.1587

ve

\beta = 0.0228

\alpha = 0.0228

ve

\beta = 0.8413

\alpha = 0.9772

ve

\beta = 0.1587

\alpha = 0.9772

ve

\beta = 0.8413

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\alpha = 0.0228$ ve $\beta = 0.1587$

Cevap

Testin anlamlılık düzeyi

\alpha = 0.0228

ve II. tip hata olasılığı

\beta = 0.1587

'dir.

Doğru olan

H_0

hipotezinin reddedilme olasılığı

\alpha

(anlamlılık düzeyi), yanlış olan

H_0

hipotezinin reddedilememe olasılığı ise

\beta

(II. tip hata) olarak tanımlanır.

\bar{X} > 106

red bölgesi kuralına göre

n=25

için standart hata

3

alınarak standartlaştırma yapıldığında,

\alpha

için

Z > 2

ve

\beta

için

Z \leq -1

kuyruk bölgelerine ulaşılır. Tablo değerleri ve simetri özellikleri kullanıldığında doğru olasılıklar sırasıyla

0.0228

ve

0.1587

olarak hesaplanır.

Adım Adım Çözüm

1

Örneklem ortalamasının standart hatasını (

\sigma_{\bar{X}}

) hesaplamak.

\sigma_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{25}} = \frac{15}{5} = 3

saat.

Test istatistiğini bulmak için popülasyon varyansından hareketle örneklem ortalamasının standart sapması bulunmalıdır.

2

Anlamlılık düzeyi olan I. tip hata olasılığını (

\alpha

) hesaplamak.

\alpha = P(\text{Red } H_0 \mid H_0 \text{ doğru}) = P(\bar{X} > 106 \mid \mu = 100)

. Standartlaştırma yapıldığında

Z = \frac{106 - 100}{3} = 2

. Buradan

\alpha = P(Z > 2) = 1 - P(Z \leq 2) = 1 - 0.9772 = 0.0228

bulunur.

I. tip hata, yokluk hipotezi (

H_0

) gerçekte doğru olduğu halde test sonucunda red bölgesine düşülmesiyle yapılan hatadır.

3

II. tip hata olasılığını (

\beta

) hesaplamak.

\beta = P(\text{Kabul } H_0 \mid H_1 \text{ doğru}) = P(\bar{X} \leq 106 \mid \mu = 109)

. Standartlaştırma yapıldığında

Z = \frac{106 - 109}{3} = -1

. Buradan

\beta = P(Z \leq -1) = 1 - P(Z \leq 1) = 1 - 0.8413 = 0.1587

bulunur.

II. tip hata, alternatif hipotez (

H_1

) geçerli olduğu halde red bölgesine düşülememesi (testin H0'ı reddedememesi) durumudur.

Anahtar Kavram

I. Tip Hata (

\alpha

) ve II. Tip Hata (

\beta

) Olasılıklarının Normal Dağılım Altında Hesaplanması

Tahmini Süre:2m 0s

Soru 97Soru →

Bir finansal veri analisti, portföy yönetiminde kullanılmak üzere geliştirilen yeni bir algoritmik stratejinin ortalama getirisinin, piyasa ortalaması olan $\mu = \%0.5$ değerinden istatistiksel olarak daha yüksek olup olmadığını sınamak istemektedir. Analist, $H_0: \mu \leq 0.5$ ve $H_1: \mu > 0.5$ hipotezlerini kurarak bir test gerçekleştirmiş ve test istatistiğine karşılık gelen p-değerini $0.03$ olarak hesaplamıştır. Başlangıçta belirlenen anlamlılık düzeyi $\alpha = 0.05$ 'tir.

Bu hipotez testi süreci ve ilgili kavramlar dikkate alındığında, aşağıdaki ifadelerden hangileri doğrudur?

I. Elde edilen p-değeri ( $0.03$ ), anlamlılık düzeyinden ( $\alpha = 0.05$ ) küçük olduğu için $H_0$ hipotezi reddedilir; bu kararla birlikte doğru olan bir sıfır hipotezini yanlışlıkla reddetme (I. Tip hata) riski göze alınmış olur.
II. Hesaplanan p-değerinin $0.03$ olması, sıfır hipotezinin ( $H_0$ ) doğru olma olasılığının istatistiksel olarak tam $\%3$ olduğunu ifade eder.
III. Analist testi en baştan $\alpha = 0.01$ anlamlılık düzeyinde kurgulasaydı, II. Tip hata yapma olasılığı ( $\beta$ ) artacak ve testin gücü ( $1-\beta$ ) azalacaktı; bu durumda testin gücünü artırmak için örneklem hacmi (gözlem sayısı) büyütülebilirdi.
IV. Hipotez kurulum kurallarına göre, kanıtlanmak istenen ve eşitlik durumu içermeyen "getirinin $\%0.5$ 'ten yüksek olduğu" yönündeki iddia, daima alternatif hipotez ( $H_1$ ) olarak ifade edilmelidir.

I ve IV

II ve III

I, III ve IV

I, II ve III

III ve IV

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: I, III ve IV

Cevap

Doğru cevap I, III ve IV numaralı ifadelerin yer aldığı seçenektir.

I, III ve IV numaralı ifadeler teorik olarak tamamen doğrudur. Analizde p-değeri 0.05'ten küçük bulunduğu için H0 reddedilir ve bu durumda I. Tip hata riski üstlenilmiş olur. Alfa küçüldükçe beta artar, güç azalır; bunu telafi etmenin istatistiksel yolu örneklem hacmini artırmaktır. Ayrıca H0 her zaman eşitlik durumunu barındırırken, eşitsizlik iddiaları H1'de yer alır. Ancak p-değeri, 'H0'ın doğru olma olasılığı' anlamına gelmez; bu literatürde yaygın bir kavram yanılgısıdır (p-value fallacy).

Adım Adım Çözüm

1

I. ifadenin doğruluğunu değerlendirme

p-değeri (0.03) < α (0.05) olduğundan H0 reddedilir. H0 hipotezi reddedildiğinde, gerçekte doğru olan bir H0'ı reddetme durumu olan I. Tip hata riski göze alınmış olur. Dolayısıyla I. ifade doğrudur.

Karar kuralı ve I. Tip hata tanımının kontrol edilmesi.

2

II. ifadenin doğruluğunu değerlendirme

P-değeri, H0'ın doğru olma olasılığını değil; H0 doğru kabul edildiğinde test istatistiğinin gözlemlenen değere eşit veya daha uç bir değer alma olasılığını ifade eder. Dolayısıyla II. ifade istatistiksel bir yanılgı içerir ve yanlıştır.

P-değerinin teorik tanımının test edilmesi.

3

III. ifadenin doğruluğunu değerlendirme

Anlamlılık düzeyi (α) 0.05'ten 0.01'e düşürüldüğünde, H0'ı reddetmek zorlaşacağından II. Tip hata (β) olasılığı artar ve buna bağlı olarak testin gücü (1-β) azalır. Gücü tekrar yükseltmenin temel yolu ise daha fazla gözlem yapmak, yani örneklem hacmini artırmaktır. III. ifade doğrudur.

Hata tipleri ve testin gücü arasındaki ters ilişkinin analiz edilmesi.

4

IV. ifadenin doğruluğunu değerlendirme

Hipotez testlerinde sıfır hipotezi (H0) daima eşitlik (≤, ≥ veya =) içerir. Araştırmacının test etmek istediği ve eşitlik barındırmayan yönlü iddialar (>, <, ≠) zorunlu olarak alternatif hipotez (H1) altında yapılandırılır. IV. ifade doğrudur.

Hipotez kurulum kurallarının gözden geçirilmesi.

Anahtar Kavram

Hipotez Testlerinde Karar Kuralları, Hata Tipleri ve Testin Gücü

Soru 98Soru →

Bir finansal risk analisti, belirli bir yatırım portföyündeki varlıkların günlük getiri oranlarının (0 ile 1 arasında ölçeklendirilmiş) olasılık yoğunluk fonksiyonunun

f(x; \theta) = \begin{cases} \theta x^{\theta-1}, & 0 < x < 1 \\ 0, & \text{diğer durumlarda} \end{cases}

ile modellendiğini varsaymaktadır.

Analist, bağımsız $n$ günlük rastgele bir örneklem ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) kullanarak, $\theta$ parametresi için $H_0: \theta = 1$ yokluk hipotezini, $H_1: \theta = 2$ alternatif hipotezine karşı test edecektir.

Neyman-Pearson lemmasına göre, bu test için en güçlü (en iyi) kritik bölge (red bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir? ( $c$ sabit bir reel sayıdır.)

\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c

\prod_{i=1}^{n} X_i \leq c

\sum_{i=1}^{n} X_i \geq c

\sum_{i=1}^{n} X_i \leq c

\sum_{i=1}^{n} \ln(X_i) \leq c

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c$

Cevap

Test için en güçlü kritik bölge

\prod_{i=1}^{n} X_i \geq c

şeklinde ifade edilir.

Neyman-Pearson lemmasına göre en güçlü testin red bölgesi

\frac{L(H_1)}{L(H_0)} \geq k

şartı ile bulunur. Verilen dağılım için

L(2) = 2^n \prod_{i=1}^n X_i

ve

L(1) = 1

'dir. Bu iki ifade oranlandığında

2^n \prod_{i=1}^n X_i \geq k

eşitsizliği elde edilir. Eşitsizliğin iki tarafı

2^n

değerine bölündüğünde, sağ taraf yeni bir sabit değere (

c

) dönüşür ve sonuç

\prod_{i=1}^n X_i \geq c

olarak bulunur.

Adım Adım Çözüm

1

H_0

ve

H_1

hipotezleri için olabilirlik (likelihood) fonksiyonlarını oluşturun.

L(\theta) = \prod_{i=1}^n f(x_i; \theta) = \theta^n \prod_{i=1}^n X_i^{\theta-1}

olmak üzere;

L(1) = 1

ve

L(2) = 2^n \prod_{i=1}^n X_i

bulunur.

Neyman-Pearson lemması, testin gücünü maksimize etmek için iki hipotez altındaki olabilirlik fonksiyonlarının oranını kullanır.

2

Neyman-Pearson lemmasına göre red bölgesi eşitsizliğini kurun.

Red bölgesi:

\frac{L(H_1)}{L(H_0)} \geq k

olmalıdır.

En güçlü test, alternatif hipotezin (H1) yokluk hipotezine (H0) göre nispeten daha olası olduğu durumlarda H0'ı reddeder.

3

Eşitsizliği sadeleştirerek örneklem istatistiğini yalnız bırakın.

\frac{2^n \prod_{i=1}^n X_i}{1} \geq k \implies \prod_{i=1}^n X_i \geq \frac{k}{2^n}

elde edilir. Sağ taraf sabit olduğundan bu değere

c

diyebiliriz:

\prod_{i=1}^n X_i \geq c

.

Test istatistiği olarak gözlemlerin çarpımı üzerinden daha pratik bir karar kuralı elde edilir.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması ve En Güçlü Test

Soru 99Soru →

Bir belediyenin çağrı merkezine belirli bir saat diliminde gelen acil ihbar sayıları $X$ rassal değişkeni ile temsil edilmektedir. $X$ 'in $\lambda > 0$ parametreli Poisson dağılımına sahip olduğu varsayılmaktadır. Olasılık kütle fonksiyonu aşağıdaki gibidir:

P(X=x) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^x}{x!}, \quad x = 0, 1, 2, \dots

Çağrı merkezinin kalite kontrol birimi, belirli bir gün boyunca rastgele seçilen $n$ farklı saat diliminde gelen ihbar sayılarını $X_1, X_2, \dots, X_n$ şeklinde kaydetmiştir. Birim, ortalama ihbar sayısının belirli bir kritik eşiği aşıp aşmadığını incelemek amacıyla $H_0: \lambda \le \lambda_0$ hipotezine karşı $H_1: \lambda > \lambda_0$ alternatif hipotezini test etmek istemektedir.

Bu hipotez testi için Karlin-Rubin teoremi yardımıyla Düzgün En Güçlü (UMP) testin bulunabilmesi amacıyla olabilirlik fonksiyonları oranı (Likelihood Ratio) kullanıldığında, geçerli olan yeterli istatistik ve Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) yönü aşağıdakilerden hangisidir?

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton artan

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton azalan

T(\mathbf{X}) = \max(X_1, X_2, \dots, X_n)

istatistiğine göre monoton artan

T(\mathbf{X}) = \prod_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton azalan

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n (X_i - \bar{X})^2

istatistiğine göre monoton artan

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i$ istatistiğine göre monoton artan

Cevap

Olabilirlik fonksiyonlarının oranı toplam istatistiğine bağlı olup, tabanı 1'den büyük olan üslü bir fonksiyon elde edildiğinden

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i

istatistiğine göre monoton artandır.

Poisson dağılımının n hacimli örneklemi üzerinden iki farklı parametre (

\lambda_2 > \lambda_1

) için yazılan olabilirlik fonksiyonlarının oranı

\frac{L(\lambda_2|\mathbf{x})}{L(\lambda_1|\mathbf{x})} = e^{-n(\lambda_2 - \lambda_1)} \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{\sum_{i=1}^n x_i}

şeklindedir. Burada

\lambda_2 > \lambda_1

olduğu için

\frac{\lambda_2}{\lambda_1}

kesri 1'den büyüktür. Sabit ve 1'den büyük bir sayının

T(\mathbf{X}) = \sum_{i=1}^n X_i

kuvveti şeklinde yazılan bu ifade,

T(\mathbf{X})

istatistiğine göre monoton artan (sürekli büyüyen) bir fonksiyondur. Dolayısıyla yeterli istatistik

\sum_{i=1}^n X_i

olup, fonksiyon monoton artandır.

Adım Adım Çözüm

1

Poisson dağılımı için n hacimli örneklemin olabilirlik fonksiyonunu (L) yazmak.

L(\lambda|\mathbf{x}) = \frac{e^{-n\lambda} \lambda^{\sum x_i}}{\prod x_i!}

Olabilirlik oranı testi (MLR) için öncelikle ilgili parametreye bağlı olabilirlik fonksiyonunun elde edilmesi gerekir.

2

\lambda_2 > \lambda_1

olmak üzere, iki farklı parametre değeri için olabilirlik fonksiyonlarının oranını hesaplamak.

\frac{L(\lambda_2|\mathbf{x})}{L(\lambda_1|\mathbf{x})} = \frac{e^{-n\lambda_2} \lambda_2^{\sum x_i} / \prod x_i!}{e^{-n\lambda_1} \lambda_1^{\sum x_i} / \prod x_i!} = e^{-n(\lambda_2 - \lambda_1)} \left(\frac{\lambda_2}{\lambda_1}\right)^{\sum x_i}

Karlin-Rubin teoremi gereği monotonluk özelliğini incelemek için

\lambda_2 > \lambda_1

şartı altında oranın

\mathbf{x}

örneklemine nasıl bağlı olduğunu bulmak gerekir.

3

Elde edilen oranın hangi istatistiğe bağlı olduğunu ve artan/azalan karakteristiğini belirlemek.

Oran yalnızca

T(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n x_i

istatistiğine bağlıdır.

\lambda_2 > \lambda_1

koşulundan dolayı

\frac{\lambda_2}{\lambda_1} > 1

'dir. Pozitif ve 1'den büyük tabanlı bir üslü fonksiyon, üssü olan

\sum x_i

değerine göre daima artandır.

Düzgün En Güçlü (UMP) testin varlığını göstermek için yeterli istatistik

T(\mathbf{x})

'in bulunması ve oranın bu istatistiğe göre monotonluk yönünün kesin olarak tayin edilmesi şarttır.

Anahtar Kavram

Monoton Olabilirlik Oranı (MLR) ve Yeterli İstatistik

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 100Soru →

Bir sismolog, belirli bir fay hattındaki mikro depremlerin sismik enerji salınımlarının logaritmik dönüşümünü incelemektedir. Bu dönüşüm değerlerinin, ortalaması $0$ ve varyansı $\sigma^2$ olan bir normal dağılıma ( $N(0, \sigma^2)$ ) uyduğu kabul edilmektedir.

Sismolog, bölgedeki tektonik hareketliliğin arttığına dair şüpheleri üzerine, sismik enerji salınımlarındaki varyansın yükseldiğini test etmek istemektedir. Bunun için rastgele seçilen $n$ bağımsız mikro depreme ait ölçümler ( $X_1, X_2, \dots, X_n$ ) alınmıştır.

Sismolog, $H_0: \sigma^2 = 1$ yokluk hipotezini, $H_1: \sigma^2 = 4$ alternatif hipotezine karşı $\alpha$ anlamlılık düzeyinde test edecektir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre, bu test için en güçlü (MP) testin red bölgesi (kritik bölgesi) aşağıdakilerden hangisidir? ( $k^*$ , $k_1$ ve $k_2$ testin anlamlılık düzeyine bağlı olarak belirlenen sabitlerdir.)

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k^*

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 < k^*

\sum_{i=1}^{n} (X_i - \bar{X})^2 > k^*

\sum_{i=1}^{n} X_i > k^*

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 < k_1 \text{ veya } \sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k_2

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k^*$

Cevap

En güçlü testin red bölgesi

\sum_{i=1}^{n} X_i^2 > k^*

şeklindedir.

Neyman-Pearson Lemması'na göre en güçlü testin red bölgesi

L(H_0) / L(H_1) \leq k

eşitsizliği ile bulunur.

H_0: \sigma^2 = 1

ve

H_1: \sigma^2 = 4

hipotezleri için olabilirlik oranı hesaplanıp logaritması alındığında

-\frac{3}{8} \sum X_i^2 \leq c

şekline dönüşür. Bu eşitsizlikte

\sum X_i^2

'yi yalnız bırakmak için her iki taraf negatif bir sayı olan

-\frac{3}{8}

'e bölündüğünde eşitsizlik yön değiştirerek

\sum X_i^2 > k^*

nihai halini alır.

Adım Adım Çözüm

1

H_0

ve

H_1

hipotezleri için olabilirlik (likelihood) fonksiyonlarını oluşturun.

L(1) = (2\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{2} \sum X_i^2)

ve

L(4) = (8\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{8} \sum X_i^2)

Neyman-Pearson Lemması'nı uygulamak için her iki durumdaki ortak olasılık yoğunluk fonksiyonlarına (olabilirlik) ihtiyaç vardır.

2

Olabilirlik oranını (

LR = L(H_0) / L(H_1)

) hesaplayın.

LR = \frac{(2\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{2} \sum X_i^2)}{(8\pi)^{-n/2} \exp(-\frac{1}{8} \sum X_i^2)} = 4^{n/2} \exp(-\frac{3}{8} \sum X_i^2)

En güçlü testin red bölgesi, olabilirlik oranının belirli bir

k

sabitinden küçük veya eşit olması kuralına dayanır.

3

Neyman-Pearson eşitsizliğini (

LR \leq k

) çözerek

\sum X_i^2

terimini yalnız bırakın.

Her iki tarafın doğal logaritması alındığında:

\frac{n}{2}\ln(4) - \frac{3}{8} \sum X_i^2 \leq \ln(k)

. Buradan

-\frac{3}{8} \sum X_i^2 \leq c

(burada

c

bir sabittir) elde edilir.

Test istatistiğini örneklem değerleri cinsinden daha sade bir eşitsizlik formuna dönüştürmek gerekir.

4

Eşitsizliği negatif katsayıdan kurtararak red bölgesinin nihai formunu belirleyin.

Eşitsizliğin her iki tarafı

-\frac{8}{3}

ile çarpıldığında eşitsizlik yön değiştirir:

\sum X_i^2 \geq k^*

. Dağılım sürekli olduğu için kritik bölge

\sum X_i^2 > k^*

olarak yazılır.

Eşitsizliğin her iki tarafı negatif bir sayıya bölündüğünde/çarpıldığında eşitsizlik kuralları gereği yön değiştirir.

Anahtar Kavram

Neyman-Pearson Lemması (Basit Hipotezlere Karşı Basit Hipotezler)

Hipotez Testleri

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm