Atlama Taşı Yöntemi Alıştırma Soruları — KPSS İstatistik

Soru 1Soru →

Aşağıdaki ulaştırma tablosunda, bir işletmenin üç farklı üretim merkezinden ( $S_1, S_2, S_3$ ) üç farklı tüketim merkezine ( $D_1, D_2, D_3$ ) ait birim taşıma maliyetleri (hücrelerin sağ üst köşesinde) ve başlangıç temel uygun çözümü (parantez içindeki değerler) verilmiştir.

$D_1$	$D_2$	$D_3$	Kapasite
$S_1$	$10$ ( $20$ )	$5$ ( $10$ )	$6$	$30$
$S_2$	$8$	$12$ ( $30$ )	$9$ ( $20$ )	$50$
$S_3$	$4$	$7$	$10$ ( $40$ )	$40$
Talep	$20$	$40$	$60$	$120$

Atlama Taşı Yöntemi kullanılarak $S_2$ kaynağından $D_1$ tüketim merkezine giden boş hücre ( $S_2, D_1$ ) için hesaplanan iyileştirme indeksi (birim maliyet değişimi) kaçtır?

-11

-9

-2

9

35

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-9$

Cevap

İyileştirme indeksi

-9

olarak hesaplanır.

Doğru yanıt olan

-9

değeri, (

S_2, D_1

) hücresi için oluşturulan kapalı çevrimdeki birim maliyetlerin (

+8, -10, +5, -12

) doğru bir şekilde toplanmasıyla elde edilmiştir. Bu değer, bu hücreye bir birim yükleme yapıldığında toplam maliyetin

9

birim azalacağını gösterir.

Adım Adım Çözüm

1

Boş hücreyi ve çevrimi belirleme

(

S_2, D_1

) hücresi için çevrim: (

S_2, D_1

)

\rightarrow

(

S_1, D_1

)

\rightarrow

(

S_1, D_2

)

\rightarrow

(

S_2, D_2

)

\rightarrow

(

S_2, D_1

)

Atlama Taşı Yönteminde boş bir hücrenin indeksi, sadece temel (dolu) hücreler kullanılarak oluşturulan kapalı bir çevrim ile bulunur.

2

Birim maliyetlere işaret atama

+(

S_2, D_1

), -(

S_1, D_1

), +(

S_1, D_2

), -(

S_2, D_2

)

Çevrim başlatılan boş hücreden itibaren işaretler sırasıyla artı ve eksi olarak atanır.

3

İndeks değerini hesaplama

+8 - 10 + 5 - 12 = -9

Atanan işaretler doğrultusunda birim maliyetlerin cebirsel toplamı iyileştirme indeksini verir.

Anahtar Kavram

Ulaştırma problemlerinde Atlama Taşı (Stepping Stone) yöntemi ile boş hücrelerin iyileştirme indekslerinin hesaplanması.

Soru 2Soru →

Aşağıdaki ulaştırma tablosunda bir işletmenin üç farklı üretim merkezinden ( $S_1, S_2, S_3$ ) üç farklı tüketim merkezine ( $D_1, D_2, D_3$ ) ait birim maliyetleri ve Kuzeybatı Köşe yöntemiyle belirlenmiş başlangıç temel uygun çözümü verilmiştir. Birim maliyetler hücrelerin sağ üst köşesinde, dağıtılan miktarlar ise hücre içinde parantez içinde gösterilmiştir.

$D_1$	$D_2$	$D_3$	Kapasite
$S_1$	$^{10}$ (40)	$^{7}$ (30)	$^{8}$	70
$S_2$	$^{14}$	$^{12}$ (30)	$^{11}$ (20)	50
$S_3$	$^{6}$	$^{13}$	$^{15}$ (30)	30
Talep	40	60	50	150

Buna göre, $(S_2, D_1)$ boş hücresi için Atlama Taşı (Stepping Stone) yöntemi ile hesaplanan iyileştirme indeksi (birim maliyet değişimi) kaçtır?

-1

+1

-5

+5

0

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: -1

Cevap

İyileştirme indeksi -1 olarak hesaplanır.

-1 değeri,

(S_2, D_1)

hücresine yapılacak 1 birimlik gönderimin toplam maliyeti 1 birim azaltacağını gösterir. Bu değer,

+14 - 10 + 7 - 12

işleminin sonucudur.

Adım Adım Çözüm

1

(S_2, D_1)

boş hücresi için kapalı döngüyü (loop) belirleyin.

Döngü:

(S_2, D_1) \rightarrow (S_1, D_1) \rightarrow (S_1, D_2) \rightarrow (S_2, D_2) \rightarrow (S_2, D_1)

Atlama Taşı yönteminde her boş hücre için sadece dolu (temel) hücreleri köşe noktası olarak kullanan tek bir kapalı döngü vardır.

2

Döngüdeki hücrelere, boş hücreden başlayarak artı (+) ve eksi (-) işaretlerini sırasıyla atayın.

+(S_2, D_1), -(S_1, D_1), +(S_1, D_2), -(S_2, D_2)

İyileştirme indeksi, ilgili hücreye bir birim yükleme yapıldığında toplam maliyetteki değişimi temsil eder.

3

Döngüdeki hücrelerin birim maliyetlerini bu işaretlere göre toplayın.

+14 - 10 + 7 - 12 = -1

Matematiksel toplam, boş hücrenin iyileştirme indeksini verir.

Anahtar Kavram

Atlama Taşı (Stepping Stone) yöntemi, ulaştırma problemlerinde başlangıç çözümünün optimum olup olmadığını test etmek için boş hücrelerin maliyet analizini yapar.

Daha Fazla Pratik

Eğer indeks negatif çıkarsa, bu hücreye maksimum ne kadar taşıma yapılabileceğini (eksi işaretli hücrelerin minimumu) belirleyerek yeni tabloyu oluşturmayı deneyin.

Tahmini Süre:1m 30s

Soru 3Soru →

Aşağıdaki tabloda, üç fabrika (A, B, C) ve üç dağıtım merkezi (X, Y, Z) arasındaki dengelenmiş bir ulaştırma probleminin birim taşıma maliyetleri ve Kuzeybatı Köşe Yöntemi ile bulunmuş başlangıç temel uygun çözümü verilmiştir. Parantez içindeki değerler, ilgili rotadan taşınan ürün miktarlarını (temel hücreleri) göstermektedir.

Fabrika / Merkez	X	Y	Z	Arz
A	$8$ (30)	$3$ (10)	$6$	40
B	$5$	$7$ (30)	$2$ (20)	50
C	$2$	$4$	$9$ (30)	30
Talep	30	40	50	120

Buna göre, Atlama Taşı (Stepping Stone) yöntemi kullanılarak ilk optimallik testi yapıldığında, maliyeti en fazla düşürecek (çözüme ilk girecek) temel dışı hücre ve bu hücrenin iyileştirme endeksi aşağıdakilerden hangisinde doğru verilmiştir?

C-Y hücresi,

-10

B-X hücresi,

-7

C-X hücresi,

-17

C-X hücresi,

17

C-X hücresi,

-7

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: C-X hücresi, $-17$

Cevap

En yüksek maliyet düşüşünü sağlayan hücre C-X hücresidir ve iyileştirme endeksi -17'dir.

Atlama Taşı yönteminde maliyetin minimize edilmesi hedeflenir. Bu yüzden iyileştirme endeksi en negatif olan hücre çözüme girmelidir. Temel dışı (boş) hücrelerin endeksleri hesaplandığında; C-X hücresinin çevrimi 6 adımlıdır ve şu hücreleri takip eder: (C,X) -> (A,X) -> (A,Y) -> (B,Y) -> (B,Z) -> (C,Z). Bu güzergahtaki maliyetler sırasıyla toplanıp çıkarıldığında

(+2 - 8 + 3 - 7 + 2 - 9 = -17)

bulunur. Diğer hücrelerin endeksleri İE(B,X) = -7 ve İE(C,Y) = -10 şeklindedir. En yüksek düşüşü (en negatif değeri) -17 ile C-X hücresi sağladığından optimum çözüm için ilk adım bu hücreye atanmalıdır.

Adım Adım Çözüm

1

Tablodaki temel dışı (boş) hücrelerin tespit edilmesi.

Boş hücreler (A,Z), (B,X), (C,X) ve (C,Y) olarak belirlenir.

Atlama taşı yönteminde mevcut çözümü iyileştirmek için sadece boş hücrelerin sisteme dahil edilme potansiyelleri incelenir.

2

Her bir boş hücre için yalnızca temel (dolu) hücrelerden köşe yapan kapalı çevrimlerin oluşturulması.

(A,Z), (B,X) ve (C,Y) için 4 köşeli; (C,X) için ise 6 köşeli çevrimler bulunur.

Miktarın kaydırılabilmesi için yatay ve dikey hareketlerle oluşturulan döngünün başlangıç noktası hariç tamamen dolu hücrelerden geçmesi zorunludur.

3

Çevrim köşelerindeki birim maliyetlere sırasıyla (+, -, +, -) işaretleri verilerek iyileştirme endekslerinin (İE) hesaplanması.

İE(A,Z) = +6-2+7-3 = +8
İE(B,X) = +5-8+3-7 = -7
İE(C,Y) = +4-7+2-9 = -10
İE(C,X) = +2-8+3-7+2-9 = -17 olarak hesaplanır.

Maliyet değişimini bulmak için çevrime eklenen birimlerin maliyetleri toplanır, çıkarılan birimlerin maliyetleri ise düşülür.

4

En büyük maliyet düşüşünü sağlayan (en negatif) endeksin seçilmesi.

En negatif değer -17 ile C-X hücresine aittir.

Amaç maliyet minimizasyonu olduğundan, toplam maliyeti en hızlı şekilde azaltacak hücre çözüme dahil edilmelidir.

Anahtar Kavram

Atlama Taşı (Stepping Stone) Yönteminde İyileştirme Endeksinin Hesaplanması

Alternatif Yöntem

İyileştirme endeksleri, daha sistematik bir yöntem olan MODI (U-V) yöntemi ile de doğrulanabilir.

U_1 = 0

alınarak satır ve sütun değerleri (U ve V) bulunduktan sonra boş hücreler için

C_{ij} - U_i - V_j

formülü ile aynı endeks değerlerine çok daha hızlı ve hatasız bir şekilde ulaşılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru 4Soru →

Bir ilaç üretim şirketi, üç farklı üretim tesisinden ( $T_1, T_2, T_3$ ) üç farklı bölgesel sağlık merkezine ( $B_1, B_2, B_3$ ) tıbbi malzeme dağıtımı yapmaktadır. Problemin dengelenmiş başlangıç temel uygun çözümü ve birim taşıma maliyetleri (TL/kutu) aşağıdaki tabloda verilmiştir.

Tesis \ Bölge	$B_1$	$B_2$	$B_3$	Arz
$T_1$	8 (30)	5 (10)	6	40
$T_2$	4	7 (30)	9 (20)	50
$T_3$	15	10	4 (60)	60
Talep	30	40	80	150

*(Not: Tablodaki parantez içindeki sayılar o hücreye yapılan yükleme (atama) miktarını, diğer sayılar ise birim taşıma maliyetlerini göstermektedir.)*

Buna göre, toplam taşıma maliyetini düşürmek amacıyla çözümün optimalliğini test etmek için Atlama Taşı (Stepping Stone) Yöntemi kullanıldığında, henüz boş olan ** $T_2-B_1$ ** hücresinin gelişme endeksi (iyileştirme değeri) aşağıdakilerden hangisidir?

-6

-4

2

6

14

Cevabı ve açıklamayı göster

Cevap: $-6$

Cevap

Boş olan

T_2-B_1

hücresinin gelişme endeksi

-6

'dır.

Atlama Taşı yönteminde kurallara uygun şekilde oluşturulan kapalı çevrimin köşelerindeki birim maliyetlerin işaretlendirilerek toplanması gerekir.

T_2-B_1

boş hücresi için çevrim rotası, mevcut dolu hücreler üzerinden

T_2-B_1 (+) \rightarrow T_1-B_1 (-) \rightarrow T_1-B_2 (+) \rightarrow T_2-B_2 (-)

şeklinde oluşturulur. İlgili köşelerdeki birim maliyetler sırasıyla formüle edildiğinde

+4 - 8 + 5 - 7 = -6

değeri elde edilir. Bu, o hücreye birim atama yapmanın toplam maliyeti 6 TL azaltacağını (iyileşme sağlayacağını) ifade eder.

Adım Adım Çözüm

1

Değerlendirilecek boş hücreden başlayarak yatay ve dikey ilerleyen, köşeleri sadece dolu hücrelere denk gelen kapalı bir çevrim (loop) çizilir.

Çevrim Rotası:

T_2-B_1 \rightarrow T_1-B_1 \rightarrow T_1-B_2 \rightarrow T_2-B_2 \rightarrow T_2-B_1

Atlama taşı yönteminde bir hücrenin toplam maliyete etkisini bulmak için, yüklemenin kaydırılabileceği mevcut dolu hücreler üzerinden kapalı bir yol oluşturmak zorunludur.

2

Çizilen rotadaki köşelere, boş hücreden başlayarak sırasıyla

(+)

ve

(-)

işaretleri atanır ve bu köşelerdeki birim taşıma maliyetleri belirlenir.

(+) T_2-B_1

(maliyet: 4),

(-) T_1-B_1

(maliyet: 8),

(+) T_1-B_2

(maliyet: 5),

(-) T_2-B_2

(maliyet: 7)

Maliyetlerdeki net değişimi hesaplamak için; eklenecek birimlerin maliyeti

(+)

, azaltılacak birimlerin maliyet tasarrufu

(-)

olarak işleme girer.

3

Belirlenen birim maliyetler atanan işaretlerle toplanarak gelişme endeksi hesaplanır.

Endeks = +4 - 8 + 5 - 7 = -6

Bu değer, o hücreye yapılacak her bir birim atamanın toplam maliyette ne kadar değişiklik (azalma veya artma) yaratacağını gösterir.

Anahtar Kavram

Atlama Taşı Yönteminde Kapalı Çevrim ve Gelişme Endeksi Hesabı

Tahmini Süre:1m 30s

Atlama Taşı Yöntemi

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Daha Fazla Pratik

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar