Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

π<x<3π2\pi < x < \frac{3\pi}{2} olmak üzere,

sin⁡(5π−x)+cos⁡(7π2+x)tan⁡(x−5π2)⋅sin⁡(x−3π)−sin⁡x⋅sec⁡2(x−7π) \frac{\sin(5\pi - x) + \cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}{\tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) \cdot \sin(x - 3\pi)} - \sin x \cdot \sqrt{\sec^2(x - 7\pi)}

ifadesinin sadeleştirilmiş biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −tan⁡x-\tan x
  2. B
    −3tan⁡x-3\tan x
  3. 3tan⁡x3\tan xCevap
  4. D
    tan⁡x\tan x
  5. E
    cot⁡x\cot x

Cevap

3tan⁡x3\tan x ifadesi
İfadenin birinci bölümünde pay 2sin⁡x2\sin x ve payda cos⁡x\cos x olarak sadeleşir, bu da 2tan⁡x2\tan x sonucunu verir. İkinci bölümde yer alan kareköklü ifade, sec⁡2(x−7π)=∣sec⁡x∣\sqrt{\sec^2(x - 7\pi)} = |\sec x| şeklinde mutlak değer olarak dışarı çıkar. xx açısı üçüncü bölgede olduğundan sekant negatiftir ve ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x olur. Bu terim önündeki −sin⁡x-\sin x ile çarpıldığında tan⁡x\tan x değerini üretir. İki kısım birleştirildiğinde 2tan⁡x+tan⁡x=3tan⁡x2\tan x + \tan x = 3\tan x elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadenin birinci kısmındaki payı oluşturan terimleri indirgeyelim.
sin⁡(5π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡x\sin(5\pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin x ve cos⁡(7π2+x)=cos⁡(3π2+x)=sin⁡x\cos\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin x olur. Dolayısıyla pay kısmı sin⁡x+sin⁡x=2sin⁡x\sin x + \sin x = 2\sin x olarak bulunur.
Büyük açıların esas ölçülerini alarak dar açı cinsinden sadeleştirmek.
2
İfadenin birinci kısmındaki paydayı oluşturan terimleri indirgeyelim.
tan⁡(x−5π2)=−tan⁡(5π2−x)=−tan⁡(π2−x)=−cot⁡x\tan\left(x - \frac{5\pi}{2}\right) = -\tan\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = -\tan\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cot x ve sin⁡(x−3π)=sin⁡(x−π)=−sin⁡x\sin(x - 3\pi) = \sin(x - \pi) = -\sin x olur. Bu durumda payda çarpımı (−cot⁡x)⋅(−sin⁡x)=cot⁡x⋅sin⁡x=cos⁡xsin⁡x⋅sin⁡x=cos⁡x(-\cot x) \cdot (-\sin x) = \cot x \cdot \sin x = \frac{\cos x}{\sin x} \cdot \sin x = \cos x elde edilir.
Paydadaki ifadelerin periyodik özelliklerini ve özdeşliklerini kullanarak sade halini bulmak.
3
Bulduğumuz pay ve payda değerlerini oranlayarak birinci kısmın en sade halini yazalım.
2sin⁡xcos⁡x=2tan⁡x\frac{2\sin x}{\cos x} = 2\tan x elde edilir.
Kesirli kısmı tek bir trigonometrik fonksiyon cinsinden ifade etmek.
4
İkinci kısmı oluşturan −sin⁡x⋅sec⁡2(x−7π)- \sin x \cdot \sqrt{\sec^2(x - 7\pi)} ifadesini xx açısının bölgesine göre analiz edelim.
sec⁡(x−7π)=sec⁡(x−π)=−sec⁡x\sec(x - 7\pi) = \sec(x - \pi) = -\sec x olur. Buradan sec⁡2(x−7π)=∣−sec⁡x∣=∣sec⁡x∣\sqrt{\sec^2(x - 7\pi)} = |-\sec x| = |\sec x| elde edilir. xx açısı üçüncü bölgede (π<x<3π2\pi < x < \frac{3\pi}{2}) olduğundan cos⁡x<0  ⟹  sec⁡x<0\cos x < 0 \implies \sec x < 0 olur. Dolayısıyla mutlak değer dışına eksi ile çarpılarak çıkar: ∣sec⁡x∣=−sec⁡x|\sec x| = -\sec x. İkinci kısım ise −sin⁡x⋅(−sec⁡x)=sin⁡xsec⁡x=sin⁡xcos⁡x=tan⁡x- \sin x \cdot (-\sec x) = \sin x \sec x = \frac{\sin x}{\cos x} = \tan x olarak bulunur.
Karekök dışına çıkarma işleminde açının bölgesine göre mutlak değerin işaretini doğru belirlemek.
5
Elde ettiğimiz iki kısmı birleştirerek sonuca ulaşalım.
2tan⁡x+tan⁡x=3tan⁡x2\tan x + \tan x = 3\tan x bulunur.
Bulunan sadeleşmiş terimler arasındaki çıkarma ve toplama işlemlerini tamamlamak.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların bölgelere göre işaretlerinin analizi ve indirgeme formüllerinde karekök/mutlak değer ilişkisi.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru