Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Tanımlı olduğu xx değerleri için,

sin⁡(17π2−x)−cos⁡(11π+x)tan⁡(7π2+x)\frac{\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) - \cos(11\pi + x)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    2sin⁡x2\sin x
  2. B
    −2cos⁡x-2\cos x
  3. −2sin⁡x-2\sin xCevap
  4. D
    2cos⁡x2\cos x
  5. E
    00

Cevap

−2sin⁡x-2\sin x
İfadedeki tüm terimlerin esas ölçüleri belirlenip bölgelerine göre indirgemeleri yapıldığında pay kısmı 2cos⁡x2\cos x ve payda kısmı −cot⁡x-\cot x olarak bulunur. Bu iki değerin birbirine oranı olan 2cos⁡x−cot⁡x\frac{2\cos x}{-\cot x} işlemi sadeleştirildiğinde −2sin⁡x-2\sin x ifadesine ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
sin⁡(17π2−x)\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.
sin⁡(17π2−x)=sin⁡(π2−x)=cos⁡x\sin\left(\frac{17\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos x
17π2\frac{17\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. Birinci bölgede sinüs pozitif olup, açı π2\frac{\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.
2
cos⁡(11π+x)\cos(11\pi + x) ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.
cos⁡(11π+x)=cos⁡(π+x)=−cos⁡x\cos(11\pi + x) = \cos(\pi + x) = -\cos x
11π11\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. Üçüncü bölgede kosinüs negatif olup, açı π\pi cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.
3
Pay kısmındaki çıkarma işlemi yapılarak payın sade hali elde edilir.
cos⁡x−(−cos⁡x)=2cos⁡x\cos x - (-\cos x) = 2\cos x
İlk iki adımda elde edilen indirgenmiş ifadeler pay kısmındaki yerlerine yazılarak işlem yürütülür.
4
tan⁡(7π2+x)\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) ifadesinin esas ölçüsü bulunarak indirgeme formülü uygulanır.
tan⁡(7π2+x)=tan⁡(3π2+x)=−cot⁡x\tan\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cot x
7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. Dördüncü bölgede tanjant negatif olup, açı 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon kotanjanta dönüşür.
5
Pay ve payda ifadeleri oranlanarak en sade biçim elde edilir.
2cos⁡x−cot⁡x=2cos⁡x−cos⁡xsin⁡x=2cos⁡x⋅(−sin⁡xcos⁡x)=−2sin⁡x\frac{2\cos x}{-\cot x} = \frac{2\cos x}{-\frac{\cos x}{\sin x}} = 2\cos x \cdot \left(-\frac{\sin x}{\cos x}\right) = -2\sin x
Kotanjant fonksiyonu cos⁡xsin⁡x\frac{\cos x}{\sin x} şeklinde yazılıp payda ters çevrilerek pay ile çarpılır ve ortak olan kosinüs terimleri sadeleştirilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru