\log_2\left(\frac{x+3}{x-2}\right) \leq 1 \neşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sa… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_2\left(\frac{x+3}{x-2}\right) \leq 1

eşitsizliğini sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri

7

'dir.

Cevap: Cevap

Verilen ifade doğrudur. Eşitsizliği sağlayan en küçük pozitif tam sayı değeri gerçekten 7'dir.

Eşitsizliğin tanım kümesi ile cebirsel çözüm kümesi kesiştirildiğinde elde edilen

[7, \infty)

aralığındaki en küçük tam sayı 7'dir.

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek.

\frac{x+3}{x-2} > 0 \implies x < -3 \text{ veya } x > 2

Logaritması alınan ifadenin tanımlı olabilmesi için sıfırdan büyük olması gerekir.

Logaritmik eşitsizliği üstel forma dönüştürerek çözmek.

\frac{x+3}{x-2} \leq 2^1 \implies \frac{x+3}{x-2} \leq 2

Logaritmanın tabanı

2 > 1

olduğundan üstel forma geçildiğinde eşitsizliğin yönü korunur.

Elde edilen rasyonel eşitsizliği sıfıra eşitleyip işaret tablosunu oluşturmak.

\frac{x+3}{x-2} - 2 \leq 0 \implies \frac{7-x}{x-2} \leq 0 \implies x \in (-\infty, 2) \cup [7, \infty)

Rasyonel ifadelerde pay ve paydanın kökleri (

x=7

x=2

) bulunarak işaret tablosu oluşturulur.

Bulunan çözüm kümesi ile tanım kümesini kesiştirmek.

( (-\infty, 2) \cup [7, \infty) ) \cap ( (-\infty, -3) \cup (2, \infty) ) = (-\infty, -3) \cup [7, \infty)

Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda logaritmayı tanımlı kılması gerekir.

Kesişim kümesindeki en küçük pozitif tam sayı değerini belirlemek.

Pozitif çözüm kümesi

[7, \infty)

olduğundan en küçük pozitif tam sayı

7

'dir.

İfadeyi sağlayan pozitif tam sayılar

7, 8, 9, \dots

şeklindedir.

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Soru