Examkin

Soru

Zorluk: KolayÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡12(x−2)>−2\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) > -2

eşitsizliğini sağlayan xx gerçel sayılarının en geniş kümesi aşağıdakilerden hangisidir?
  1. A
    [2,6)[2, 6)
  2. (2,6)(2, 6)Cevap
  3. C
    (6,∞)(6, \infty)
  4. D
    (−∞,6)(-\infty, 6)
  5. E
    (2,4)(2, 4)

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx gerçel sayılarının en geniş kümesi (2,6)(2, 6) açık aralığ��dır.
Logaritma ifadesinin tanımlı olması için x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 olmalıdır. Eşitsizlik çözülürken taban basit kesir olduğundan büyüktür sembolü küçüktür sembolüne dönüşür ve x−2<(12)−2  ⟹  x−2<4  ⟹  x<6x - 2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x - 2 < 4 \implies x < 6 elde edilir. Bu iki sonucun kesişim kümesi olan (2,6)(2, 6) açık aralığı doğru çözümdür.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralını uygulayın.
x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2
Logaritması alınan ifade daima sıfırdan büyük olmalıdır.
2
Eşitsizliği tabanın durumuna göre çözün.
x−2<(12)−2  ⟹  x−2<4  ⟹  x<6x - 2 < \left(\frac{1}{2}\right)^{-2} \implies x - 2 < 4 \implies x < 6
Logaritmanın tabanı 12\frac{1}{2} bir basit kesir (0<12<10 < \frac{1}{2} < 1) olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik sembolü yön değiştirir.
3
Tanım kümesinden ve eşitsizlik çözümünden elde edilen iki aralığı kesiştirin.
x>2x > 2 ve x<6x < 6 koşullarının ortak kümesi (2,6)(2, 6) açık aralığıdır.
Çözüm kümesindeki elemanların hem eşitsizliği sağlaması hem de logaritma tanımını bozmaması gerekir.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerde yön değiştirme kuralı ve logaritma tanım kümesinin eşitsizlik çözümüne dahil edilmesi.
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru