Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
0<x<π20 < x < \frac{\pi}{2} olmak üzere,
cos⁡(11π2+x)⋅tan⁡(900∘−x)sin⁡(270∘+x)⋅cot⁡(15π2−x)\frac{\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) \cdot \tan(900^\circ - x)}{\sin(270^\circ + x) \cdot \cot\left(\frac{15\pi}{2} - x\right)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −tan⁡(x)-\tan(x)
  2. B
    cot⁡(x)\cot(x)
  3. tan⁡(x)\tan(x)Cevap
  4. D
    −cot⁡(x)-\cot(x)
  5. E
    −1-1

Cevap

İfadenin en sade biçimi tan⁡(x)\tan(x) ifadesidir.
Verilen ifadelerin her biri esas ölçüleri bulunarak indirgendiğinde pay sin⁡(x)⋅(−tan⁡(x))\sin(x) \cdot (-\tan(x)), payda ise −cos⁡(x)⋅tan⁡(x)-\cos(x) \cdot \tan(x) olur. Bölme işleminde ortak çarpanlar sadeleştirildiğinde geriye tan⁡(x)\tan(x) kalır.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki birinci ifadenin esas ölçüsünü bulup indirgemesini yapmak
cos⁡(11π2+x)=cos⁡(3π2+x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{11\pi}{2} + x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = \sin(x)
11π2\frac{11\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. 3π2+x\frac{3\pi}{2} + x açısı 4. bölgede yer alır ve bu bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti pozitif (+) değerdedir. Dikey eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi sinüse dönüşür.
2
Paydaki ikinci ifadenin esas ölçüsünü bulup indirgemesini yapmak
tan⁡(900∘−x)=tan⁡(180∘−x)=−tan⁡(x)\tan(900^\circ - x) = \tan(180^\circ - x) = -\tan(x)
900∘900^\circ açısının esas ölçüsü 180∘180^\circ derecedir. 180∘−x180^\circ - x açısı 2. bölgede yer alır ve bu bölgede tanjant fonksiyonu negatif (-) işaretlidir. Yatay eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi değişmez.
3
Paydadaki birinci ifadenin indirgemesini yapmak
sin⁡(270∘+x)=−cos⁡(x)\sin(270^\circ + x) = -\cos(x)
270∘+x270^\circ + x açısı 4. bölgede yer alır ve bu bölgede sinüs fonksiyonu negatif (-) işaretlidir. Dikey eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi kosinüse dönüşür.
4
Paydadaki ikinci ifadenin esas ölçüsünü bulup indirgemesini yapmak
cot⁡(15π2−x)=cot⁡(3π2−x)=tan⁡(x)\cot\left(\frac{15\pi}{2} - x\right) = \cot\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = \tan(x)
15π2\frac{15\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. 3π2−x\frac{3\pi}{2} - x açısı 3. bölgede yer alır ve bu bölgede kotanjant fonksiyonu pozitif (+) işaretlidir. Dikey eksen referans alındığı için fonksiyonun ismi tanjanta dönüşür.
5
Elde edilen indirgenmiş değerleri ana kesirde yerine koyup sadeleştirmek
sin⁡(x)⋅(−tan⁡(x))−cos⁡(x)⋅tan⁡(x)=−sin⁡(x)tan⁡(x)−cos⁡(x)tan⁡(x)=sin⁡(x)cos⁡(x)=tan⁡(x)\frac{\sin(x) \cdot (-\tan(x))}{-\cos(x) \cdot \tan(x)} = \frac{-\sin(x)\tan(x)}{-\cos(x)\tan(x)} = \frac{\sin(x)}{\cos(x)} = \tan(x)
Pay ve paydada ortak olan −tan⁡(x)-\tan(x) çarpanları sadeleşir. Kalan sin⁡(x)cos⁡(x)\frac{\sin(x)}{\cos(x)} oranı tanjant fonksiyonunun tanımı gereği tan⁡(x)\tan(x) değerine eşit olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve dikey/yatay eksenlere göre bölge dönüşümlerinde işaret ve isim değiştirme kurallarının uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru