Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
aa bir gerçel sayı olmak üzere,
f(x)=(a2+2a2+1)xf(x) = \left(\frac{a^2 + 2}{a^2 + 1}\right)^x
fonksiyonu tanımlanıyor.

Buna göre,

I. aa parametresinin her gerçel sayı değeri için f(x)f(x) bir üstel fonksiyondur.
II. aa'nın bazı gerçel sayı değerleri için f(x)f(x) azalan bir fonksiyondur.
III. f(x)=2xf(x) = 2^x eşitliğini sağlayan benzersiz bir aa gerçel sayısı vardır.

ifadelerinden hangileri doğrudur?

  1. A
    Yalnız I
  2. B
    Yalnız III
  3. C
    I ve II
  4. I ve IIICevap
  5. E
    I, II ve III

Cevap

I ve III
I. ve III. ifadelerin doğru olduğunu gösteren analizler sırasıyla tabanın her zaman pozitif ve 1'den farklı olması ile tabanı 2 yapan tek bir a değerinin (a = 0) bulunmasına dayanmaktadır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tanımını ve taban şartlarını hatırlama.
Taban olan bb ifadesinin b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olması gerektiğini belirledik.
Bir fonksiyonun üstel fonksiyon belirtebilmesi için bu iki koşulu aynı anda sağlaması gerekir.
2
Tabanın pozitifliğini ve 1'den farklı olma durumunu analiz etme.
Her aa gerçel sayısı için a2≥0a^2 \ge 0 olduğundan tabanın daima pozitif ve 1'den farklı olduğunu bulduk.
I. öncülün doğruluğunu kontrol etmek ve tanım kümesini belirlemek için.
3
Tabanın 1'den büyük olma durumunu inceleyerek artanlık/azalanlık analizi yapma.
Tabanın her aa gerçel sayısı için 1'den büyük olduğunu, dolayısıyla fonksiyonun daima artan olduğunu ve hiçbir zaman azalan olamayacağını bulduk.
II. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için.
4
f(x)=2xf(x) = 2^x eşitliğini sağlayan aa değerlerini bulma.
Tabanı 2'ye eşitleyip çözdüğümüzde tek bir gerçel sayı kökü (a=0a = 0) elde ettik.
III. öncülün doğruluğunu kontrol etmek için.

Anahtar Kavram

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Taban Özellikleri
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru