Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

5π4<x<3π2\frac{5\pi}{4} < x < \frac{3\pi}{2} olmak üzere,

A=1+sin⁡(π+2x)sin⁡(7π2+x)+cos⁡(5π2−x)−1−sin⁡(π+2x)cos⁡(7π2−x)−sin⁡(5π2+x)A = \frac{\sqrt{1 + \sin(\pi + 2x)}}{\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)} - \frac{\sqrt{1 - \sin(\pi + 2x)}}{\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) - \sin\left(\frac{5\pi}{2} + x\right)}

ifadesi tanımlanıyor.

Buna göre, AA ifadesinin eşiti aşa��ıdakilerden hangisidir?

  1. −2-2Cevap
  2. B
    −1-1
  3. C
    00
  4. D
    11
  5. E
    22

Cevap

−2-2 değeri doğrudur.
Doğru cevap −2-2 değeridir. İfadeler indirgendiğinde birinci kesir cos⁡x−sin⁡xsin⁡x−cos⁡x=−1\frac{\cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} = -1 ve ikinci kesir −(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x+cos⁡x)=1\frac{-(\sin x + \cos x)}{-(\sin x + \cos x)} = 1 eşitliklerini sağlar. Bu iki değerin farkı alındığında sonuç −2-2 olur.

Adım Adım Çözüm

1
Köklü ifadelerin içindeki trigonometrik ifadeleri indirgeme ve tam kare biçiminde yazma
sin⁡(π+2x)=−sin⁡(2x)\sin(\pi + 2x) = -\sin(2x) olduğundan,
1+sin⁡(π+2x)=1−sin⁡(2x)=(sin⁡x−cos⁡x)2=∣sin⁡x−cos⁡x∣\sqrt{1 + \sin(\pi + 2x)} = \sqrt{1 - \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x - \cos x)^2} = |\sin x - \cos x|
ve benzer şekilde
1−sin⁡(π+2x)=1+sin⁡(2x)=(sin⁡x+cos⁡x)2=∣sin⁡x+cos⁡x∣\sqrt{1 - \sin(\pi + 2x)} = \sqrt{1 + \sin(2x)} = \sqrt{(\sin x + \cos x)^2} = |\sin x + \cos x| elde edilir.
Köklü ifadeleri mutlak değer dışına çıkarabilmek için tam kare özdeşliğini kullanmak gerekir.
2
Verilen bölgeye göre mutlak değerlerin işaretini belirleme
x∈(5π4,3π2)x \in \left(\frac{5\pi}{4}, \frac{3\pi}{2}\right) aralığı III. bölgenin ikinci yarısıdır. Bu aralıkta sin⁡x<cos⁡x<0\sin x < \cos x < 0 olduğundan:
1) sin⁡x−cos⁡x<0\sin x - \cos x < 0 olur ve ∣sin⁡x−cos⁡x∣=cos⁡x−sin⁡x|\sin x - \cos x| = \cos x - \sin x olarak çıkar.
2) Hem sin⁡x\sin x hem de cos⁡x\cos x negatif olduğundan sin⁡x+cos⁡x<0\sin x + \cos x < 0 olur ve ∣sin⁡x+cos⁡x∣=−(sin⁡x+cos⁡x)|\sin x + \cos x| = -(\sin x + \cos x) olarak çıkar.
Mutlak değer dışına çıkarma işleminde ifadenin pozitif veya negatif olma durumu incelenmelidir.
3
Paydadaki ifadelerin indirgeme formüllerini uygulama
1) sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x
2) cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x
Böylece birinci payda: sin⁡x−cos⁡x\sin x - \cos x olur.

3) cos⁡(7π2−x)=cos⁡(3π2−x)=−sin⁡x\cos\left(\frac{7\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{3\pi}{2} - x\right) = -\sin x
4) sin⁡(5π2+x)=sin⁡(π2+x)=cos⁡x\sin\left(\frac{5\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + x\right) = \cos x
Böylece ikinci payda: −sin⁡x−cos⁡x=−(sin⁡x+cos⁡x)-\sin x - \cos x = -(\sin x + \cos x) olur.
Payda kısmındaki yüksek açılı ifadeleri indirgeme formülleriyle sadeleştirmek gerekir.
4
Pay ve payda oranlarını hesaplayarak ana işlemi tamamlama
Birinci terim:
cos⁡x−sin⁡xsin⁡x−cos⁡x=−1\frac{\cos x - \sin x}{\sin x - \cos x} = -1
İkinci terim:
−(sin⁡x+cos⁡x)−(sin⁡x+cos⁡x)=1\frac{-(\sin x + \cos x)}{-(\sin x + \cos x)} = 1
Ana ifade:
A=−1−(1)=−2A = -1 - (1) = -2 olarak bulunur.
Sadeleştirilmiş parçaları ana denklemde yerine koyup çıkarma işlemini tamamlamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi, birim çemberde işaret analizi ve mutlak değer dışına çıkarma
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru