\log_{0,25}(x^2 - x - 2) \geq -1 eşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı kaçtır? — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_{0,25}(x^2 - x - 2) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 1

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 1'dir.

Logaritma tanım kümesinden gelen

x < -1

veya

x > 2

koşulu ile tabanın basit kesir olması sebebiyle eşitsizlik yön değiştirilerek elde edilen

-2 \leq x \leq 3

aralığının kesişimi

[-2, -1) \cup (2, 3]

olur. Bu aralıktaki tam sayılar

-2

3

olup, toplamları 1'dir.

Tanım kümesinin belirlenmesi

x^2 - x - 2 > 0 \implies (x - 2)(x + 1) > 0 \implies x \in (-\infty, -1) \cup (2, \infty)

Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.

Logaritmik eşitsizliğin çözülmesi

x^2 - x - 2 \leq (0,25)^{-1} \implies x^2 - x - 2 \leq 4 \implies x^2 - x - 6 \leq 0

Logaritmanın tabanı olan 0,25 değeri 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.

Eşitsizlik sisteminin ortak çözümünün bulunması

x \in [-2, -1) \cup (2, 3]

x^2 - x - 6 \leq 0

eşitsizliğinin çözüm kümesi

[-2, 3]

olup, bu küme ile tanım kümesinin kesişimi alınmalıdır.

Koşulu sağlayan tam sayıların toplanması

Tam sayılar:

-2

3

. Toplamları:

-2 + 3 = 1

Elde edilen en geniş çözüm kümesindeki tam sayı değerleri toplanarak sonuca ulaşılır.

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler ve Tanım Kümesi Kısıtları

Soru