x bir gerçel sayı olmak üzere, \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)\neşitsizliğini sağlayan x tam sayılarının toplamı 6'dır.

x bir gerçel sayı olmak üzere, \log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x

bir gerçel sayı olmak üzere,

\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 2x) \geq \log_{\frac{1}{2}}(x + 4)

eşitsizliğini sağlayan

x

tam sayılarının toplamı

6

'dır.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen önerme doğrudur.

Doğru çözüm adımları uygulandığında, logaritmanın tanım kümesi olan

(-4, 0) \cup (2, \infty)

ile yön değiştirilerek çözülen

[-1, 4]

aralığının kesişimi

[-1, 0) \cup (2, 4]

olur. Bu kümedeki tam sayılar

\{-1, 3, 4\}

olup toplamları gerçekten

6

'dır. Dolayısıyla önerme doğrudur.

Adım Adım Çözüm

Logaritma fonksiyonlarının tanıml�� olması için gerekli koşullar (tanım kümeleri) belirlenir.

x^2 - 2x > 0 \implies x(x-2) > 0 \implies x < 0

veya

x > 2

x + 4 > 0 \implies x > -4

Ortak tanım kümesi:

D = (-4, 0) \cup (2, \infty)

olur.

Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif gerçel sayılar olması gerekir.

Logaritma tabanı incelenerek cebirsel eşitsizlik çözülür.

Taban

\frac{1}{2}

(

0 < \frac{1}{2} < 1

) olduğundan azalanlık özelliği gereği eşitsizlik yön değiştirir:

x^2 - 2x \leq x + 4 \implies x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies -1 \leq x \leq 4

Basit eşitsizliklerde taban 1'den küçük pozitif bir sayı olduğunda logaritma içi ifadeler karşılaştırılırken yön değiştirilir.

Elde edilen çözüm kümesi ile tanım kümesi kesiştirilir.

[-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]

Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda fonksiyonu tanımlı kılması şarttır.

Kesişim kümesindeki tam sayılar belirlenir ve toplanır.

[-1, 0)

aralığındaki tam sayı:

-1

(2, 4]

aralığındaki tam sayılar:

3, 4

Toplam:

(-1) + 3 + 4 = 6

Sağlayan tam sayıların toplamı

6

olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve logaritmanın en geniş tanım kümesi sınırlamalarının çözüme dahil edilmesi.

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru