Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡3(x+5)⋅log⁡12(x2−4x+4)−23−33−x≥0\log_3(x + 5) \cdot \frac{\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 4) - 2}{3 - 3^{3-x}} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: -9

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı −9-9'dur.
Logaritmik tanım kümeleri ve payda sınırları dikkate alındığında eşitsizliğin çözüm kümesi [−4,1.5]∪(2,2.5][-4, 1.5] \cup (2, 2.5] olur. Bu kümedeki tam sayılar sadece [−4,1.5][-4, 1.5] aralığından gelen −4,−3,−2,−1,0,1-4, -3, -2, -1, 0, 1 sayılarıdır ve toplamları −9-9 değerine eşittir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesini belirlemek
Tanım kümesi D=(−5,∞)∖{2}D = (-5, \infty) \setminus \{2\} olarak bulunur.
log⁡3(x+5)\log_3(x+5) ifadesinin tanımlı olması için x+5>0  ⟹  x>−5x + 5 > 0 \implies x > -5 olmalıdır. log⁡12(x2−4x+4)\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 4) ifadesinin tanımlı olması için x2−4x+4>0  ⟹  (x−2)2>0  ⟹  x≠2x^2 - 4x + 4 > 0 \implies (x-2)^2 > 0 \implies x \neq 2 olmalıdır. Ayrıca paydanın sıfır olmaması gerektiğinden 3−33−x≠0  ⟹  3−x≠1  ⟹  x≠23 - 3^{3-x} \neq 0 \implies 3-x \neq 1 \implies x \neq 2 olmalıdır.
2
Çarpanların köklerini ve işaretlerini analiz etmek
Kritik noktalar ve işaret durumları belirlendi.
1) log⁡3(x+5)=0  ⟹  x=−4\log_3(x+5) = 0 \implies x = -4. İfade x>−4x > -4 için pozitif, −5<x<−4-5 < x < -4 için negatiftir.
2) log⁡12(x2−4x+4)−2=0  ⟹  (x−2)2=1/4  ⟹  x=1.5\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - 4x + 4) - 2 = 0 \implies (x-2)^2 = 1/4 \implies x = 1.5 veya x=2.5x = 2.5. Logaritma tabanı 1/2<11/2 < 1 olduğundan, 1.5<x<2.51.5 < x < 2.5 (ve x≠2x \neq 2) aralığında bu çarpan pozitif, x<1.5x < 1.5 veya x>2.5x > 2.5 durumlarında negatiftir.
3) 3−33−x=0  ⟹  x=23 - 3^{3-x} = 0 \implies x = 2. Payda ifadesi x>2x > 2 için pozitif, x<2x < 2 için negatiftir.
3
İşaret tablosu oluşturmak
En geniş çözüm kümesi [−4,1.5]∪(2,2.5][-4, 1.5] \cup (2, 2.5] olarak elde edilir.
Belirlenen kökler tablolandığında:
- (−5,−4)(-5, -4) aralığında: (−)⋅(−)/(−)=(−)(-) \cdot (-) / (-) = (-)
- [−4,1.5][-4, 1.5] aralığında: (+)⋅(−)/(−)=(+)(+) \cdot (-) / (-) = (+)
- (1.5,2)(1.5, 2) aralığında: (+)⋅(+)/(−)=(−)(+) \cdot (+) / (-) = (-)
- (2,2.5](2, 2.5] aralığında: (+)⋅(+)/(+)=(+)(+) \cdot (+) / (+) = (+)
- (2.5,∞)(2.5, \infty) aralığında: (+)⋅(−)/(+)=(−)(+) \cdot (-) / (+) = (-)
Eşitsizlik sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirdiğinden pozitif aralıklar seçilir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları toplamak
Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı −9-9 olarak bulunur.
[−4,1.5][-4, 1.5] aralığındaki tam sayılar −4,−3,−2,−1,0,1-4, -3, -2, -1, 0, 1 şeklindedir. (2,2.5](2, 2.5] aralığında hiçbir tam sayı bulunmaz. Bu tam sayıların toplamı ise (−4)+(−3)+(−2)+(−1)+0+1=−9(-4) + (-3) + (-2) + (-1) + 0 + 1 = -9 olur.

Anahtar Kavram

Logaritma tabanının 00 ile 11 arasında olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi, logaritma tanım kümesi şartları ve rasyonel eşitsizliklerde payda kökünün dışlanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru