Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bir matematik öğretmeni, trigonometrik indirgeme formülleri ve esas ��lçü kavramlarını pekiştirmek amacıyla tahtaya aşağıdaki xx, yy ve zz değerlerini yazmıştır:

x=sin⁡(25π6)x = \sin\left(\frac{25\pi}{6}\right)
y=cos⁡(−16π3)y = \cos\left(-\frac{16\pi}{3}\right)
z=tan⁡(29π4)z = \tan\left(\frac{29\pi}{4}\right)

Buna göre; xx, yy ve zz sayılarını en küçükten en büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1yy sayısı
  2. 2xx sayısı
  3. 3zz sayısı

Cevap

y<x<zy < x < z (en küçük yy, sonra xx, en büyük zz)
Verilen ifadelerin esas ölçüleri ve bölgelere göre indirgenmiş değerleri hesaplandığında y=−12y = -\frac{1}{2} ile en küçük, x=12x = \frac{1}{2} ile ortanca ve z=1z = 1 ile en büyük değer olur.

Adım Adım Çözüm

1
xx sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
x=12x = \frac{1}{2}
25π6\frac{25\pi}{6} açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (25'in 12'ye bölümünden kalan 1) π6\frac{\pi}{6} radyandır. Birinci bölgede sinüs pozitif olup sin⁡(π6)=sin⁡(30∘)=12\sin\left(\frac{\pi}{6}\right) = \sin(30^\circ) = \frac{1}{2} elde edilir.
2
yy sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
y=−12y = -\frac{1}{2}
−16π3-\frac{16\pi}{3} negatif açısına esas ölçüyü bulmak için 2π2\pi'nin en küçük pozitif katı olan 6π6\pi eklenir: −16π3+6π=2π3-\frac{16\pi}{3} + 6\pi = \frac{2\pi}{3} radyan olur. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır. İndirgeme formülüyle cos⁡(2π3)=cos⁡(120∘)=cos⁡(180∘−60∘)=−cos⁡(60∘)=−12\cos\left(\frac{2\pi}{3}\right) = \cos(120^\circ) = \cos(180^\circ - 60^\circ) = -\cos(60^\circ) = -\frac{1}{2} bulunur.
3
zz sayısının esas ölçüsünü bulma ve değerini hesaplama
z=1z = 1
29π4\frac{29\pi}{4} açısının esas ölçüsü, payın paydanın iki katına bölünmesiyle (29'un 8'e bölümünden kalan 5) 5π4\frac{5\pi}{4} radyandır. Üçüncü bölgede tanjant pozitif değer alır. İndirgeme formülüyle tan⁡(5π4)=tan⁡(225∘)=tan⁡(180∘+45∘)=tan⁡(45∘)=1\tan\left(\frac{5\pi}{4}\right) = \tan(225^\circ) = \tan(180^\circ + 45^\circ) = \tan(45^\circ) = 1 elde edilir.
4
Elde edilen değerleri sayı doğrusu üzerindeki büyüklüklerine göre sıralama
y<x<zy < x < z
−12<12<1-\frac{1}{2} < \frac{1}{2} < 1 olduğundan doğru sıralama y<x<zy < x < z şeklindedir.

Anahtar Kavram

Radyan cinsinden verilen açıların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre trigonometrik fonksiyon değerlerinin indirgeme formülleriyle hesaplanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru