Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Tanımlı olduğu aralıkta xx gerçel sayısı için,

sin⁡(15π2+x)+cos⁡(1260∘−x)tan⁡(810∘+x)+cot⁡(7π−x)\frac{\sin\left(\frac{15\pi}{2} + x\right) + \cos(1260^\circ - x)}{\tan(810^\circ + x) + \cot(7\pi - x)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −sin⁡x-\sin x
  2. sin⁡x\sin xCevap
  3. C
    −cos⁡x-\cos x
  4. D
    cos⁡x\cos x
  5. E
    00

Cevap

sin⁡x\sin x
Verilen ifadedeki tüm açıların esas ölçüleri bulunduğunda; 15π/215\pi/2 açısı 3π/23\pi/2 radyana, 1260∘1260^\circ açısı 180∘180^\circ ye, 810∘810^\circ açısı 90∘90^\circ ye ve 7π7\pi açısı π\pi radyana denk gelir. Bu açılara göre indirgeme yapıldığında paydaki terimler sırasıyla −cos⁡x-\cos x ve −cos⁡x-\cos x olarak sadeleşir ve toplamları −2cos⁡x-2\cos x olur. Paydadaki terimler ise sırasıyla −cot⁡x-\cot x ve −cot⁡x-\cot x olur ve toplamları −2cot⁡x-2\cot x yapar. Bu iki ifadenin birbirine oranı ise sin⁡x\sin x sonucunu verir.

Adım Adım Çözüm

1
İfadelerdeki büyük açıların esas ölçülerini radyan ve derece cinsinden belirleme
15π2=6π+3π2≡3π2(mod2π)\frac{15\pi}{2} = 6\pi + \frac{3\pi}{2} \equiv \frac{3\pi}{2} \pmod{2\pi}
1260∘=3⋅360∘+180∘≡180∘(mod360∘)1260^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 180^\circ \equiv 180^\circ \pmod{360^\circ}
810∘=2⋅360∘+90∘≡90∘(mod360∘)810^\circ = 2 \cdot 360^\circ + 90^\circ \equiv 90^\circ \pmod{360^\circ}
7π=6π+π≡π(mod2π)7\pi = 6\pi + \pi \equiv \pi \pmod{2\pi}
Bölgelere göre indirgeme yapabilmek için öncelikle açıların 00 ile 2π2\pi (veya 0∘0^\circ ile 360∘360^\circ) aralığındaki esas öl��ülerini bulmamız gerekir.
2
Esas ölçüleri yerlerine yazarak trigonometrik fonksiyonları bölgelerine göre indirgeme
sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x\sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x
cos⁡(180∘−x)=−cos⁡x\cos(180^\circ - x) = -\cos x
tan⁡(90∘+x)=−cot⁡x\tan(90^\circ + x) = -\cot x
cot⁡(π−x)=−cot⁡x\cot(\pi - x) = -\cot x
Her bir ifadenin yer aldığı bölgedeki işaretini belirlemek ve açı eksenine göre (x veya y ekseni) fonksiyon adının değişip değişmeyeceğine karar vermek gerekir.
3
Bulunan indirgenmiş değerleri ana kesir ifadesinde yerine koyarak sadeleştirme yapma
Pay: (−cos⁡x)+(−cos⁡x)=−2cos⁡x(-\cos x) + (-\cos x) = -2\cos x
Payda: (−cot⁡x)+(−cot⁡x)=−2cot⁡x(-\cot x) + (-\cot x) = -2\cot x
Kesir: −2cos⁡x−2cot⁡x=cos⁡xcot⁡x=cos⁡xcos⁡xsin⁡x=sin⁡x\frac{-2\cos x}{-2\cot x} = \frac{\cos x}{\cot x} = \frac{\cos x}{\frac{\cos x}{\sin x}} = \sin x
Elde edilen indirgenmiş terimleri toplayıp oranlayarak ifadenin en sade halini bulmak gerekir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçülerinin bulunması ve bölgelere göre indirgenmesi (isim ve işaret değişimi kuralları)
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru