Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

θ=20∘\theta = 20^\circ olmak üzere,

A=cos⁡(1240∘)⋅sin⁡(−430∘)sin⁡(200∘)⋅cos⁡(340∘)A = \frac{\cos(1240^\circ) \cdot \sin(-430^\circ)}{\sin(200^\circ) \cdot \cos(340^\circ)}
B=cos⁡(13π2−θ)sin⁡(5π+θ)⋅cot⁡(12π−θ)tan⁡(7π2+θ)B = \frac{\cos\left(\frac{13\pi}{2} - \theta\right)}{\sin(5\pi + \theta)} \cdot \frac{\cot(12\pi - \theta)}{\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right)}

ifadeleri tanımlanıyor. Buna göre, A⋅BA \cdot B çarpımı aşağıdakilerden hangisine eşittir?

  1. cot⁡(20∘)\cot(20^\circ)Cevap
  2. B
    −cot⁡(20∘)-\cot(20^\circ)
  3. C
    tan⁡(20∘)\tan(20^\circ)
  4. D
    −tan⁡(20∘)-\tan(20^\circ)
  5. E
    −1-1

Cevap

İfadelerin doğru şekilde sadeleştirilmesiyle elde edilen A⋅BA \cdot B çarpımı cot⁡(20∘)\cot(20^\circ) değerine eşittir.
İndirgemeler doğru yapıldığında, birinci ifadeden eksi işaretli kotanjant yirmi derece, ikinci ifadeden ise eksi bir değeri elde edilir. Bu iki ifadenin çarpımı pozitif işaretli kotanjant yirmi dereceye eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
AA ifadesindeki her bir trigonometrik fonksiyonu 20∘20^\circ cinsinden dar açıya indirgeyiniz.
A=(−cos⁡(20∘))⋅(−cos⁡(20∘))(−sin⁡(20∘))⋅cos⁡(20∘)=−cot⁡(20∘)A = \frac{(-\cos(20^\circ)) \cdot (-\cos(20^\circ))}{(-\sin(20^\circ)) \cdot \cos(20^\circ)} = -\cot(20^\circ) elde edilir.
1240∘=3⋅360∘+160∘1240^\circ = 3 \cdot 360^\circ + 160^\circ olup 2. bölgededir. cos⁡(160∘)=−cos⁡(20∘)\cos(160^\circ) = -\cos(20^\circ) olur. −430∘=−430∘+720∘=290∘-430^\circ = -430^\circ + 720^\circ = 290^\circ olup 4. bölgededir. sin⁡(290∘)=sin⁡(270∘+20∘)=−cos⁡(20∘)\sin(290^\circ) = \sin(270^\circ + 20^\circ) = -\cos(20^\circ) olur. 200∘200^\circ açısı 3. bölgededir. sin⁡(200∘)=sin⁡(180∘+20∘)=−sin⁡(20∘)\sin(200^\circ) = \sin(180^\circ + 20^\circ) = -\sin(20^\circ) olur. 340∘340^\circ açısı 4. bölgededir. cos⁡(340∘)=cos⁡(360∘−20∘)=cos⁡(20∘)\cos(340^\circ) = \cos(360^\circ - 20^\circ) = \cos(20^\circ) olur.
2
BB ifadesindeki radyan cinsinden verilen açıları θ=20∘\theta = 20^\circ için indirgeyiniz.
B=sin⁡(20∘)−sin⁡(20∘)⋅−cot⁡(20∘)−cot⁡(20∘)=(−1)⋅1=−1B = \frac{\sin(20^\circ)}{-\sin(20^\circ)} \cdot \frac{-\cot(20^\circ)}{-\cot(20^\circ)} = (-1) \cdot 1 = -1 elde edilir.
cos⁡(13π2−θ)=cos⁡(6π+π2−θ)=cos⁡(π2−θ)=sin⁡(θ)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(6\pi + \frac{\pi}{2} - \theta\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - \theta\right) = \sin(\theta) (1. bölge). sin⁡(5π+θ)=sin⁡(π+θ)=−sin⁡(θ)\sin(5\pi + \theta) = \sin(\pi + \theta) = -\sin(\theta) (3. bölge). cot⁡(12π−θ)=cot⁡(−θ)=−cot⁡(θ)\cot(12\pi - \theta) = \cot(-\theta) = -\cot(\theta). tan⁡(7π2+θ)=tan⁡(2π+3π2+θ)=tan⁡(3π2+θ)=−cot⁡(θ)\tan\left(\frac{7\pi}{2} + \theta\right) = \tan\left(2\pi + \frac{3\pi}{2} + \theta\right) = \tan\left(\frac{3\pi}{2} + \theta\right) = -\cot(\theta) (4. bölge).
3
Elde edilen AA ve BB değerlerini çarparak sonuca ulaşınız.
A⋅B=(−cot⁡(20∘))⋅(−1)=cot⁡(20∘)A \cdot B = (-\cot(20^\circ)) \cdot (-1) = \cot(20^\circ) bulunur.
AA ifadesinin sadeleşmiş hali olan −cot⁡(20∘)-\cot(20^\circ) ile BB ifadesinin sadeleşmiş hali olan −1-1 çarpılır.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki yönlü açılarda, 90∘90^\circ (π/2\pi/2) ve 270∘270^\circ (3π/23\pi/2) katları kullanıldığında fonksiyon isim değiştirirken (sin ↔\leftrightarrow cos, tan ↔\leftrightarrow cot), 180∘180^\circ (π\pi) ve 360∘360^\circ (2π2\pi) katlarında isim değişmez. İşaret belirlemede her zaman orijinal fonksiyonun o bölgedeki işareti dikkate alınmalıdır.

Alternatif Yöntem

İfadelerin her birinde yer alan büyük veya negatif açıları, birim çember üzerinde esas ölçülerini bularak pozitif yönlü dar açılara dönüştürmek işlem karmaşasını azaltır.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru