\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x - 2}{x - 4}\right) \geq -1 \neşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x - 2}{x - 4}\right) \geq -1 \neşitsizliğini sağlayan en küç… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

\log_{\frac{1}{3}}\left(\frac{x - 2}{x - 4}\right) \geq -1

eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı kaçtır?

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki farklı pozitif tam sayının toplamı 6'dır.

Eşitsizliğin doğru çözümü için öncelikle

\frac{x-2}{x-4} > 0

tanım aralığı belirlenir, bu da bize

(-\infty, 2) \cup (4, \infty)

aralığını verir. Ardından taban basit kesir olduğundan yön değiştirilerek

\frac{x-2}{x-4} \leq 3

eşitsizliği çözülür ve cebirsel aralık

(-\infty, 4) \cup [5, \infty)

bulunur. İki kümenin kesişiminden elde edilen gerçek çözüm kümesi

(-\infty, 2) \cup [5, \infty)

olur. Bu kümedeki en küçük pozitif tam sayılar 1 ve 5 olduğundan, toplamları 6'dır.

Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek

\frac{x - 2}{x - 4} > 0

olmalıdır. Bu eşitsizliğin kökleri

x = 2

x = 4

olup, işaret tablosu yapıldığında tanım kümesi

T = (-\infty, 2) \cup (4, \infty)

olarak bulunur.

Logaritmanın tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.

Eşitsizliği logaritma kurallarına göre çözmek

Taban

\frac{1}{3}

(basit kesir) olduğundan eşitsizlik yön değiştirir:

\frac{x - 2}{x - 4} \leq \left(\frac{1}{3}\right)^{-1} \implies \frac{x - 2}{x - 4} \leq 3

olur.

Tabanı 0 ile 1 arasında olan logaritmik eşitsizliklerde logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.

Rasyonel eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak

\frac{x - 2}{x - 4} - 3 \leq 0 \implies \frac{-2x + 10}{x - 4} \leq 0 \implies \frac{2x - 10}{x - 4} \geq 0

elde edilir. Bu eşitsizliğin kökleri

x = 5

x = 4

'tür. Paydanın kökü (

x=4

) hariç, payın kökü (

x=5

) dahil edilerek cebirsel çözüm kümesi

C_1 = (-\infty, 4) \cup [5, \infty)

olarak bulunur.

Rasyonel eşitsizliklerin çözümü için tüm terimler bir tarafa toplanıp payda eşitlemesi yapılır ve köklerin işaret tablosu incelenir.

Tanım kümesi ile cebirsel çözüm kümesinin kesişimini almak

C = T \cap C_1 = \big( (-\infty, 2) \cup (4, \infty) \big) \cap \big( (-\infty, 4) \cup [5, \infty) \big) = (-\infty, 2) \cup [5, \infty)

elde edilir.

Bulunan çözümlerin geçerli olabilmesi için logaritmanın tanımlı olduğu aralıkta yer alması gerekir.

En küçük iki pozitif tam sayıyı belirlemek ve toplamak

Çözüm kümesindeki pozitif tam sayılar

1, 5, 6, 7, \dots

şeklindedir. En küçük iki tanesi 1 ve 5 olup, toplamları

1 + 5 = 6

olur.

Kümeye ait en küçük iki pozitif tam sayı belirlenerek soru kökündeki toplam işlemi gerçekleştirilir.

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın durumuna göre eşitsizlik yönünün belirlenmesi ve tanım kümesi sınırlamalarının çözüm kümesine dahil edilmesi.