Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Tanımlı olduğu xx ve yy gerçel sayıları için,

x−y=9π2x - y = \frac{9\pi}{2}

olduğuna göre,

3cos⁡(x−3π)⋅tan⁡(y−5π2)+3sin⁡(7π2+x)sin⁡(5π−y)−cos⁡(5π2−x)\frac{3\cos(x - 3\pi) \cdot \tan\left(y - \frac{5\pi}{2}\right) + 3\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right)}{\sin(5\pi - y) - \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right)}

ifadesinin değeri kaçtır?

  1. A
    -3
  2. B
    -1
  3. C
    0
  4. D
    1
  5. 3Cevap

Cevap

İfadeler doğru şekilde indirgendiğinde pay paydanın 3 katı olmakta ve oran 3 olarak bulunmaktadır.
Verilen x−y=9π2x - y = \frac{9\pi}{2} bağıntısı kullanılarak tüm trigonometrik terimler yy açısı cinsinden indirgendiğinde, pay ifadesi 3(sin⁡y−cos⁡y)3(\sin y - \cos y) ve payda ifadesi sin⁡y−cos⁡y\sin y - \cos y olarak elde edilir. Bu iki ifade birbirine oranlandığında sadeleşerek 3 değerini verir.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen iki değişken arasındaki ilişkiyi esas ölçü cinsinden yazmak.
x=y+4π+π2x = y + 4\pi + \frac{\pi}{2} olduğundan, xx açısının esas ölçüsü y+π2y + \frac{\pi}{2} olur. Buradan sin⁡x=sin⁡(y+π2)=cos⁡y\sin x = \sin\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = \cos y ve cos⁡x=cos⁡(y+π2)=−sin⁡y\cos x = \cos\left(y + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin y eşitlikleri elde edilir.
İfadedeki farkl�� değişkenleri tek bir değişken cinsinden ifade edebilmek için.
2
Pay kısmındaki trigonometrik ifadeleri yy cinsinden indirgemek.
cos⁡(x−3π)=−cos⁡x=−(−sin⁡y)=sin⁡y\cos(x - 3\pi) = -\cos x = -(-\sin y) = \sin y olur. tan⁡(y−5π2)=tan⁡(y−π2)=−cot⁡y\tan\left(y - \frac{5\pi}{2}\right) = \tan\left(y - \frac{\pi}{2}\right) = -\cot y olur. Bu iki ifadenin çarpımı 3⋅sin⁡y⋅(−cot⁡y)=−3cos⁡y3 \cdot \sin y \cdot (-\cot y) = -3\cos y olarak bulunur. Diğer terim ise sin⁡(7π2+x)=sin⁡(3π2+x)=−cos⁡x=−(−sin⁡y)=sin⁡y\sin\left(\frac{7\pi}{2} + x\right) = \sin\left(\frac{3\pi}{2} + x\right) = -\cos x = -(-\sin y) = \sin y olur. Böylece pay kısmı −3cos⁡y+3sin⁡y=3(sin⁡y−cos⁡y)-3\cos y + 3\sin y = 3(\sin y - \cos y) halini alır.
Pay kısmındaki karmaşık ifadeleri sadeleştirip ortak bir çarpan parantezine alabilmek için.
3
Payda kısmındaki trigonometrik ifadeleri yy cinsinden indirgemek.
sin⁡(5π−y)=sin⁡(π−y)=sin⁡y\sin(5\pi - y) = \sin(\pi - y) = \sin y olur. cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡x\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin x olur. Birinci adımda elde ettiğimiz sin⁡x=cos⁡y\sin x = \cos y eşitliği yerine yazıldığında bu ifade cos⁡y\cos y değerine eşit olur. Dolayısıyla payda kısmı sin⁡y−cos⁡y\sin y - \cos y haline gelir.
Payda kısmını pay kısmı ile sadeleşebilir hale getirmek için.
4
Elde edilen pay ve payda ifadelerini oranlamak.
A=3(sin⁡y−cos⁡y)sin⁡y−cos⁡y=3A = \frac{3(\sin y - \cos y)}{\sin y - \cos y} = 3 bulunur.
Sadeleşen terimleri eleyerek nihai sayısal değere ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelere göre indirgenmesi ve iki değişken arasındaki doğrusal ilişki yardımıyla dönüşüm yapılması.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru