Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
f(x)=(m+210−m)xf(x) = \left(\frac{m+2}{10-m}\right)^x

fonksiyonu gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı azalan bir üstel fonksiyon olduğuna göre, mm'nin alabileceği tam sayı değerlerinin toplamı kaçtır?

  1. 5Cevap
  2. B
    6
  3. C
    9
  4. D
    35
  5. E
    40

Cevap

Azalan üstel fonksiyon tanımına göre taban 00 ile 11 arasında olmalıdır. Buradan elde edilen −2<m<4-2 < m < 4 aralığındaki tam sayıların toplamı 55 olur.
Azalan bir üstel fonksiyonun tabanı 00 ile 11 arasında yer almalıdır. 0<m+210−m<10 < \frac{m+2}{10-m} < 1 eşitsizlik zincirinden mm için −2<m<4-2 < m < 4 aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 55'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun azalan olması için gerekli koşulun belirlenmesi
f(x)=bxf(x) = b^x biçimindeki bir üstel fonksiyonun azalan olması için tabanın 0<b<10 < b < 1 koşulunu sağlaması gerekir. Bu soruda taban b=m+210−mb = \frac{m+2}{10-m} olduğundan, 0<m+210−m<10 < \frac{m+2}{10-m} < 1 eşitsizlik sistemi kurulur.
Üstel fonksiyonların genel tanımı ve artanlık/azalanlık özelliklerinin doğrudan bir sonucudur.
2
Tabanın pozitif olması koşulunun çözülmesi
m+210−m>0\frac{m+2}{10-m} > 0 eşitsizliğinde kökler m=−2m = -2 ve m=10m = 10'dur. İşaret tablosu incelendiğinde, ifadenin pozitif olduğu aralık (−2,10)(-2, 10) olarak bulunur.
Tabanın pozitif bir gerçel sayı olması üstel fonksiyon tanımlanabilmesi için zorunludur.
3
Tabanın 11'den küçük olması koşulunun çözülmesi
m∈(−2,10)m \in (-2, 10) aralığında 10−m>010-m > 0 olduğundan, m+210−m<1\frac{m+2}{10-m} < 1 eşitsizliğinde her iki taraf 10−m10-m ile çarpılabilir: m+2<10−m  ⟹  2m<8  ⟹  m<4m + 2 < 10 - m \implies 2m < 8 \implies m < 4 elde edilir.
Fonksiyonun azalanlık özelliğini sağlayan üst sınırı belirlemek için bu eşitsizlik çözülmelidir.
4
Koşulların kesişiminin alınması ve tam sayıların toplanması
Her iki koşulu da sağlayan aralık (−2,10)∩(−∞,4)=(−2,4)(-2, 10) \cap (-\infty, 4) = (-2, 4) aralığıdır. Bu aralıktaki mm tam sayıları −1,0,1,2,3-1, 0, 1, 2, 3 olup, toplamları: (−1)+0+1+2+3=5(-1) + 0 + 1 + 2 + 3 = 5 bulunur.
Soruda istenen mm tam sayılarının toplamını bulmak için elde edilen ortak çözüm kümesindeki değerler toplanır.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif gerçel sayı ve 1'den farklı olması (b>0,b≠1b > 0, b \neq 1) ile azalanlık durumunda tabanın 1'den küçük olması (0<b<10 < b < 1) kuralı.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru