x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right) olmak üzere, \frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} =… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

x \in \left(0, \frac{\pi}{4}\right)

olmak üzere,

\frac{1}{\sin^2 x} + \frac{1}{\cos^2 x} = 16

olduğuna göre,

\cos(4x)

ifadesinin değeri kaçtır?

Cevap: 0.5

İfadenin değeri 0.5 olarak bulunur.

Verilen rasyonel ifadenin paydaları eşitlenip düzenlendiğinde

\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16}

elde edilir. Sinüs yarım açı formülü olan

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

bağıntısının karesi kullanılarak

\sin^2(2x) = \frac{1}{4}

değerine ulaşılır. Kosinüs yarım açı formülü

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)

eşitliğinde bu değer yerine yazıldığında sonuç 0.5 çıkmaktadır.

Payda eşitleme ve temel özdeşliği uygulama

\sin^2 x \cdot \cos^2 x = \frac{1}{16}

Rasyonel ifadeleri birleştirmek ve

\sin^2 x + \cos^2 x = 1

özdeşliğini kullanmak için paydalar eşitlenmiştir.

Sinüs yarım açı formülünü uygulama

\sin^2(2x) = \frac{1}{4}

\sin(2x) = 2\sin x \cos x

olduğundan, ifadenin karesi alınarak

\sin^2 x \cos^2 x

ifadesi

\sin^2(2x)

cinsinden yazılmıştır.

Kosinüs yarım a��ı formülünü uygulayarak sonucu hesaplama

\cos(4x) = 0.5

\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)

formülünde bulunan değer yerine yazılarak sonuç hesaplanmıştır.

Sinüs ve Kosinüs Yarım Açı Formüllerinin Uygulanması

Soru