Examkin

Soru

Zorluk: OrtaYarım Açı Formülleri
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) olmak üzere,
sin⁡(2x)1−cos⁡(2x)=−3\frac{\sin(2x)}{1 - \cos(2x)} = -3

olduğuna göre, cos⁡(2x)\cos(2x) ifadesinin değeri kaçtır?

  1. 45\frac{4}{5}Cevap
  2. B
    −45-\frac{4}{5}
  3. C
    −35-\frac{3}{5}
  4. D
    35\frac{3}{5}
  5. E
    12\frac{1}{2}

Cevap

4/5 değeri
Verilen ifade sadeleştirildiğinde cot⁡x=−3\cot x = -3 elde edilir. İkinci bölgede cot⁡x=−3\cot x = -3 olduğu için dik üçgen yardımıyla cos⁡x=−310\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}} ve sin⁡x=110\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} değerleri bulunur. cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünde bu değerler yerine yazıldığında doğru sonuç 4/5 olarak elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Yarım açı formüllerini kullanarak verilen rasyonel ifadeyi sadeleştirmek
sin⁡(2x)1−cos⁡(2x)=2sin⁡xcos⁡x1−(1−2sin⁡2x)=2sin⁡xcos⁡x2sin⁡2x=cot⁡x=−3\frac{\sin(2x)}{1 - \cos(2x)} = \frac{2\sin x \cos x}{1 - (1 - 2\sin^2 x)} = \frac{2\sin x \cos x}{2\sin^2 x} = \cot x = -3
Rasyonel ifadeyi en sade haline getirerek açının kotanjant değerini belirlemek
2
x∈(π2,π)x \in \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right) aralığını dikkate alarak sin⁡x\sin x ve cos⁡x\cos x değerlerini bulmak
sin⁡x=110\sin x = \frac{1}{\sqrt{10}} ve cos⁡x=−310\cos x = -\frac{3}{\sqrt{10}}
İkinci bölgede kosinüs değerinin negatif, sinüs değerinin pozitif olduğunu belirleyip dik üçgen yardımıyla oranları hesaplamak
3
cos⁡(2x)=cos⁡2x−sin⁡2x\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x formülünü uygulamak
cos⁡(2x)=(−310)2−(110)2=910−110=45\cos(2x) = \left(-\frac{3}{\sqrt{10}}\right)^2 - \left(\frac{1}{\sqrt{10}}\right)^2 = \frac{9}{10} - \frac{1}{10} = \frac{4}{5}
Kosinüs yarım açı formülünü kullanarak istenen değere ulaşmak

Anahtar Kavram

Yarım Açı Formülleri
Bu soruyu puanla

Konular

Yarım Açı Formülleri

Bu konudan daha fazla soru