Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡13(x−2)+1log⁡2(x2−7x+12)−1≤0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 1}{\log_2(x^2 - 7x + 12) - 1} \leq 0

eşitsizliğini sağlayan en küçük üç farklı xx tam sayısının toplamı kaçtır?
  1. A
    12
  2. B
    13
  3. C
    18
  4. 21Cevap
  5. E
    15

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı tam sayının toplamı 21'dir.
Doğru olan seçenekteki 21 cevabı, eşitsizliğin en geniş tanım kümesi ve paydanın sıfır olamayacağı koşulları dikkate alınarak bulunan en geniş çözüm kümesindeki en küçük üç tam sayının (6, 7 ve 8) toplamıdır. Payın kökü olan 5 değeri aynı zamanda paydayı da sıfır yaptığından tanımsızlık yaratır ve çözüm kümesine dahil edilemez.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olması için gerekli olan tanım kümelerini belirleyin.
Paydaki log⁡13(x−2)\log_{\frac{1}{3}}(x-2) için x−2>0⇒x>2x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır. Paydadaki log⁡2(x2−7x+12)\log_2(x^2-7x+12) için x2−7x+12>0⇒(x−3)(x−4)>0⇒x<3x^2-7x+12 > 0 \Rightarrow (x-3)(x-4) > 0 \Rightarrow x < 3 veya x>4x > 4 olmalıdır. Bu iki kümenin kesişiminden ifadenin tanımlı olduğu en geniş küme x∈(2,3)∪(4,∞)x \in (2, 3) \cup (4, \infty) olarak bulunur.
Logaritmik ifadelerin gerçek sayılarda tanımlı olabilmesi için logaritmanın içinin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Paydanın sıfır olamayacağı koşulunu inceleyin.
log⁡2(x2−7x+12)−1≠0⇒log⁡2(x2−7x+12)≠1⇒x2−7x+12≠2⇒x2−7x+10≠0⇒(x−2)(x−5)≠0\log_2(x^2 - 7x + 12) - 1 \neq 0 \Rightarrow \log_2(x^2 - 7x + 12) \neq 1 \Rightarrow x^2 - 7x + 12 \neq 2 \Rightarrow x^2 - 7x + 10 \neq 0 \Rightarrow (x-2)(x-5) \neq 0 olur. Buradan x≠2x \neq 2 ve x≠5x \neq 5 elde edilir.
Rasyonel bir ifadenin paydası sıfır olduğunda ifade tanımsız olur, bu nedenle paydanın kökleri çözüm kümesine dahil edilemez.
3
Pay ve paydanın işaretlerini belirlemek için köklerini bulun ve işaret tablosu oluşturun.
Payın kökü: log⁡13(x−2)+1=0⇒log⁡13(x−2)=−1⇒x−2=3⇒x=5\log_{\frac{1}{3}}(x-2) + 1 = 0 \Rightarrow \log_{\frac{1}{3}}(x-2) = -1 \Rightarrow x-2 = 3 \Rightarrow x = 5 bulunur. Paydanın kökleri: x=2x = 2 ve x=5x = 5 idi. Tanım kümesi sınırları x=2x = 2, x=3x = 3, x=4x = 4 ve kök olan x=5x = 5 noktalarına göre işaret tablosu yapılır. Pay x∈(2,5)x \in (2, 5) için pozitif, x>5x > 5 için negatiftir. Payda ise x∈(2,3)∪(4,5)x \in (2, 3) \cup (4, 5) için negatif, x>5x > 5 için pozitiftir. Bu durumda rasyonel ifadenin işareti x∈(2,3)∪(4,5)∪(5,∞)x \in (2, 3) \cup (4, 5) \cup (5, \infty) aralıklarının tamamında negatif (< 0) olur.
Eşitsizliğin yönünü belirlemek ve çözüm kümesini bulmak için pay ve paydanın ortak işaret tablosu incelenmelidir.
4
Eşitsizliği sağlayan tam sayıları listeleyin ve en küçük üçünün toplamını hesaplayın.
Çözüm kümesi (2,3)∪(4,5)∪(5,∞)(2, 3) \cup (4, 5) \cup (5, \infty) aralıklarından oluşur. (2,3)(2, 3) ve (4,5)(4, 5) aralıklarında hiçbir tam sayı yoktur. (5,∞)(5, \infty) aralığındaki tam sayılar ise 6,7,8,9,…6, 7, 8, 9, \dots şeklindedir. Eşitsizliği sağlayan en küçük üç farklı tam sayı 6, 7 ve 8'dir. Bu sayıların toplamı 6+7+8=216 + 7 + 8 = 21 olarak bulunur.
Elde edilen en geniş çözüm kümesindeki tam sayılar tespit edilerek soruda istenen toplam hesaplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru