Küçük genlikli salınımlar yapan (basit harmonik hareket koşullarını sağlayan) K, L ve M ba… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Küçük genlikli salınımlar yapan (basit harmonik hareket koşullarını sağlayan) $K$ , $L$ ve $M$ basit sarkaçlarının özellikleri aşağıda belirtilmiştir:

* ** $K$ sarkaçı**: Durgun bir laboratuvarda ( $g$ yer çekimi ivmeli ortamda), $L$ uzunluğundaki ipin ucuna bağlı $2m$ kütleli cisimle düşeyle $8^\circ$ açı yapacak şekilde salınım yapmaktadır.
* ** $L$ sarkaçı**: Dünya yüzeyinden yer yarıçapı ( $R$ ) kadar yüksekte durgun bir laboratuvarda, $4L$ uzunluğundaki ipin ucuna bağlı $m$ kütleli cisimle düşeyle $6^\circ$ açı yapacak şekilde salınım yapmaktadır.
* ** $M$ sarkaçı**: Yatay düzlemde $a = \frac{3}{4}g$ ivmesiyle hızlanan bir vagonun içinde, $L$ uzunluğundaki ipin ucuna bağlı $m$ kütleli cisimle vagon içindeki gözlemciye göre düşeyle $5^\circ$ açı yapacak şekilde salınım yapmaktadır.

Buna göre; $K$ , $L$ ve $M$ sarkaçlarının periyotları sırasıyla $T_K$ , $T_L$ ve $T_M$ olduğuna göre, bu periyotları en büyükten en küçüğe doğru sıralayınız.

1 $L$ sarkaçının periyodu ( $T_L$ )
2 $K$ sarkaçının periyodu ( $T_K$ )
3 $M$ sarkaçının periyodu ( $T_M$ )

Cevap

Sarkaçların periyotları arasındaki büyüklük ilişkisi

T_L > T_K > T_M

şeklindedir.

Basit sarkacın periyodu

T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g_{eff}}}

bağıntısına göre belirlenir. L sarkaçı için yer çekimi ivmesi

g/4

'e düşerken ip boyu

4L

olduğundan periyot en büyük olur (

4T_K

). M sarkaçı için vagon ivmesi nedeniyle efektif yer çekimi ivmesi

1.25g

'ye yükseldiğinden periyot en küçük olur (

\sqrt{0.8}T_K

). K sarkaçı ise

1T_K

periyodu ile orta sıradadır. Bu nedenle doğru sıralama L sarkaçı, K sarkaçı ve M sarkaçı şeklindedir.

Adım Adım Çözüm

K

sarkaçı için periyot bağıntısını yazalım.

T_K = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}

olarak bulunur. Kütlenin

2m

olması ve açının

8^\circ

olması (

\theta < 10^\circ

koşulu sağlandığı için) basit sarkacın periyodunu etkilemez.

Basit sarkacın periyodu sadece ipin boyuna ve ortamın yer çekimi ivmesine bağlı olup, cismin kütlesinden ve genlik açısından bağımsızdır.

L

sarkaçının bulunduğu yükseklikteki yer çekimi ivmesini ve periyodunu hesaplayalım.

Dünya yüzeyinden

R

kadar yüksekte yer çekimi ivmesi

g' = G\frac{M}{(2R)^2} = \frac{g}{4}

olur. Bu durumda periyot

T_L = 2\pi\sqrt{\frac{4L}{g/4}} = 2\pi\sqrt{\frac{16L}{g}} = 4T_K

olarak hesaplanır.

Yer çekimi ivmesi Dünya merkezinden uzaklığın karesiyle ters orantılıdır.

M

sarkaçı için efektif yer çekimi ivmesini ve periyodu bulalım.

Yatay doğrultuda

a = \frac{3}{4}g

ivmesiyle hızlanan vagon içindeki sarkaç için efektif ivme

g_{eff} = \sqrt{g^2 + a^2} = \sqrt{g^2 + (0.75g)^2} = 1.25g = \frac{5}{4}g

olur. Buradan periyot

T_M = 2\pi\sqrt{\frac{L}{1.25g}} = \sqrt{0.8}T_K \approx 0.89T_K

bulunur.

İvmeli sistemlerde sarkacın denge konumuna geri çağırıcı kuvvetini belirleyen efektif yer çekimi ivmesi, yer çekimi ivmesi ile sistemin ivmesinin vektörel farkı (fiktif kuvvetin etkisiyle) alınarak hesaplanır.

Elde edilen periyot değerlerini sıralayalım.

T_L = 4T_K

T_K = 1T_K

T_M \approx 0.89T_K

olduğundan sıralama

T_L > T_K > T_M

olur.

Matematiksel katsayıların karşılaştırılması sonucunda periyotlar en büyükten en küçüğe doğru dizilmiştir.

Anahtar Kavram

Basit sarkacın periyodunun ip boyu, efektif yer çekimi ivmesi, kütle ve genlik açılarına bağlılığı

Alternatif Yöntem

Efektif yer çekimi ivmesi arttıkça sarkacın birim zamandaki salınım sayısı artar, yani periyodu kısalır. Boyu uzadıkça ise periyodu artar. Bu pratik yaklaşımı kullanarak sayısal hesaplama yapmadan da L sarkaçının en büyük boy ve en düşük yer çekimi ivmesine sahip olduğu için en uzun periyoda; M sarkaçının ise en yüksek efektif ivmeye sahip olduğu için en kısa periyoda sahip olacağı yorumu doğrudan yapılabilir.

Tahmini Süre:2m 30s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Alternatif Yöntem

Konular

Bu konudan daha fazla soru