Examkin

Soru

Zorluk: ZorTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Tanımlı olduğu xx gerçel sayı değerleri için,

f(x)=sin⁡(5π2−x)−cos⁡(x−1260∘)sin⁡(11π−x)⋅tan⁡(810∘+x)f(x) = \frac{\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \cos(x - 1260^\circ)}{\sin(11\pi - x) \cdot \tan(810^\circ + x)}

ifadesi veriliyor.

Buna göre, f(x)f(x) ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    22
  2. B
    00
  3. C
    2cot⁡(x)2\cot(x)
  4. −2-2Cevap
  5. E
    −2tan⁡(x)-2\tan(x)

Cevap

−2-2
İfadedeki pay kısmında yer alan terimler indirgendiğinde 2cos⁡(x)2\cos(x), payda kısmında yer alan çarpım durumundaki terimler indirgenip sadeleştirildiğinde −cos⁡(x)-\cos(x) elde edilir. Bu iki değer birbirine oranlandığında değişkenler sadeleşir ve sonuç −2-2 olarak bulunur. Dolayısıyla doğru cevap −2-2 değeridir.

Adım Adım Çözüm

1
Payda yer alan sin⁡(5π2−x)\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) ifadesini indirgeyiniz.
sin⁡(5π2−x)=sin⁡(π2−x)=cos⁡(x)\sin\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \cos(x)
5π2\frac{5\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2}'dir. Birinci bölgede sinüs fonksiyonu pozitif işaretlidir ve π2\frac{\pi}{2} açısına göre indirgeme yapıldığından fonksiyon isim değiştirerek kosinüse dönüşür.
2
Payda yer alan cos⁡(x−1260∘)\cos(x - 1260^\circ) ifadesini indirgeyiniz.
cos⁡(x−1260∘)=cos⁡(1260∘−x)=cos⁡(180∘−x)=−cos⁡(x)\cos(x - 1260^\circ) = \cos(1260^\circ - x) = \cos(180^\circ - x) = -\cos(x)
Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(x−1260∘)=cos⁡(1260∘−x)\cos(x - 1260^\circ) = \cos(1260^\circ - x) olur. 1260∘1260^\circ açısının esas ölçüsü 1260∘−3⋅360∘=180∘1260^\circ - 3 \cdot 360^\circ = 180^\circ olarak bulunur. İkinci bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirmez.
3
Pay kısmının toplam değerini hesaplayınız.
Pay=cos⁡(x)−(−cos⁡(x))=2cos⁡(x)\text{Pay} = \cos(x) - (-\cos(x)) = 2\cos(x)
Bulunan sadeleşmiş terimler pay kısmındaki çıkarma işleminde yerine yazılarak ifade düzenlenir.
4
Paydadaki sin⁡(11π−x)\sin(11\pi - x) ve tan⁡(810∘+x)\tan(810^\circ + x) ifadelerini ayrı ayrı indirgeyiniz.
sin⁡(11π−x)=sin⁡(π−x)=sin⁡(x)\sin(11\pi - x) = \sin(\pi - x) = \sin(x) ve tan⁡(810∘+x)=tan⁡(90∘+x)=−cot⁡(x)\tan(810^\circ + x) = \tan(90^\circ + x) = -\cot(x)
11π11\pi açısının esas ölçüsü π\pi'dir. İkinci bölgede sinüs pozitif olup isim değiştirmez. 810∘810^\circ açısının esas ölçüsü 90∘90^\circ'dir. İkinci bölgede tanjant negatif işaretlidir ve 90∘90^\circ açısına göre indirgendiğinden ismi kotanjanta dönüşür.
5
Payda kısmını çarpım olarak hesaplayınız ve tüm ifadeyi oranlayınız.
Payda=sin⁡(x)⋅(−cot⁡(x))=sin⁡(x)⋅(−cos⁡(x)sin⁡(x))=−cos⁡(x)\text{Payda} = \sin(x) \cdot (-\cot(x)) = \sin(x) \cdot \left(-\frac{\cos(x)}{\sin(x)}\right) = -\cos(x). Buradan f(x)=2cos⁡(x)−cos⁡(x)=−2f(x) = \frac{2\cos(x)}{-\cos(x)} = -2 bulunur.
Kotanjantın cos⁡(x)sin⁡(x)\frac{\cos(x)}{\sin(x)} eşitliği kullanılarak payda basitleştirilir, ardından pay paydaya bölünerek en sade biçim elde edilir.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Fonksiyonların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru