Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡12(x2−x−12)≥−3\log_{\frac{1}{2}}(x^2 - x - 12) \geq -3

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    9
  2. B
    5
  3. C
    3
  4. D
    2
  5. 1Cevap

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı 11'dir.
Doğru cevap olan değer, tanım kümesi (x<−3x < -3 veya x>4x > 4) ile eşitsizlik çözümü olan [−4,5][-4, 5] aralığının kesişiminden elde edilen {−4,5}\{-4, 5\} kümesindeki tam sayıların toplamıdır. Bu toplam −4+5=1-4 + 5 = 1'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesi kuralını uygulayarak logaritmanın içinin pozitif olması gerektiğini belirtiriz.
x2−x−12>0  ⟹  (x−4)(x+3)>0  ⟹  x<−3x^2 - x - 12 > 0 \implies (x - 4)(x + 3) > 0 \implies x < -3 veya x>4x > 4 olur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının kesinlikle sıfırdan büyük olmas�� gerekir.
2
Eşitsizliğin tabanı 00 ile 11 arasında olduğundan, logaritmayı kaldırırken eşitsizliğin yönünü değiştiririz.
x2−x−12≤(12)−3  ⟹  x2−x−12≤8  ⟹  x2−x−20≤0x^2 - x - 12 \leq \left(\frac{1}{2}\right)^{-3} \implies x^2 - x - 12 \leq 8 \implies x^2 - x - 20 \leq 0 elde edilir.
Taban 0<b<10 < b < 1 olduğunda logaritma fonksiyonu azalandır, bu nedenle eşitsizlik yön değiştirir.
3
Elde edilen ikinci dereceden eşitsizliği çözeriz.
x2−x−20≤0  ⟹  (x−5)(x+4)≤0  ⟹  −4≤x≤5x^2 - x - 20 \leq 0 \implies (x - 5)(x + 4) \leq 0 \implies -4 \leq x \leq 5 bulunur.
İkinci dereceden ifadenin kökleri −4-4 ve 55 olup, başkatsayısı pozitif olduğundan bu iki kök arasındaki bölge negatif veya sıfırdır.
4
Tanım kümesi ile eşitsizlikten elde edilen aralığın kesişimini alarak çözüm kümesini belirleriz.
[−4,5]∩((−∞,−3)∪(4,∞))=[−4,−3)∪(4,5][-4, 5] \cap ((-\infty, -3) \cup (4, \infty)) = [-4, -3) \cup (4, 5] elde edilir.
Bulunan xx değerlerinin hem e��itsizliği sağlaması hem de logaritmayı tanımlı kılması zorunludur.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplarız.
Bu aralıktaki tam sayılar {−4,5}\{-4, 5\} olup, toplamları −4+5=1-4 + 5 = 1 olur.
[−4,−3)[-4, -3) aralığındaki tek tam sayı −4-4, (4,5](4, 5] aralığındaki tek tam sayı 55'tir.

Anahtar Kavram

Basit kesir tabanlı logaritmik eşitsizliklerin çözümü ve tanım kümesi sınırlandırılması
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru