Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right) olmak üzere,
sin⁡(x−π2)=35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{5}

olduğuna göre,

sin⁡(3π+x)+cos⁡(5π2−x)−tan⁡(x−7π2)\sin(3\pi + x) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right)

ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?

  1. 34\frac{3}{4}Cevap
  2. B
    −34-\frac{3}{4}
  3. C
    43\frac{4}{3}
  4. D
    −1720-\frac{17}{20}
  5. E
    4720\frac{47}{20}

Cevap

Üç bölü dört
İfade indirgeme formülleri kullanılarak sadeleştirildiğinde birinci ve ikinci terim birbirini götürür. Üçüncü terim ise kotanjant fonksiyonuna dönüşür. Başlangıçta verilen eşitlikten açının kosinüs değeri negatif olarak elde edilir. Açının üçüncü bölgede olduğu bilgisi kullanılarak hesaplanan kotanjant değeri pozitif olup üç bölü dört sonucuna ulaşılır.

Adım Adım Çözüm

1
Verilen denklemde sin⁡(x−π2)=35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = \frac{3}{5} ifadesini indirgeme formülü kullanarak sadeleştirip cos⁡(x)\cos(x) değerini bulunuz.
sin⁡(x−π2)=−sin⁡(π2−x)=−cos⁡(x)=35  ⟹  cos⁡(x)=−35\sin\left(x - \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = -\cos(x) = \frac{3}{5} \implies \cos(x) = -\frac{3}{5} olarak bulunur.
Açının esas bölgesindeki trigonometrik değerini belirlemek ve diğer trigonometrik oranları hesaplayabilmek için.
2
Açının üçüncü bölgede (x∈(π,3π2)x \in \left(\pi, \frac{3\pi}{2}\right)) olduğunu dikkate alarak sin⁡(x)\sin(x) ve cot⁡(x)\cot(x) değerlerini hesaplayınız.
Üçüncü bölgede sinüs negatif olduğundan sin⁡(x)=−1−cos⁡2(x)=−45\sin(x) = -\sqrt{1 - \cos^2(x)} = -\frac{4}{5} olur. Cotangent ise pozitif olup cot⁡(x)=cos⁡(x)sin⁡(x)=−3/5−4/5=34\cot(x) = \frac{\cos(x)}{\sin(x)} = \frac{-3/5}{-4/5} = \frac{3}{4} olarak bulunur.
İstenen ifadedeki terimleri sayısal olarak hesaplamak için gerekli olan temel trigonometrik değerleri elde etmek amacıyla.
3
İstenen sin⁡(3π+x)+cos⁡(5π2−x)−tan⁡(x−7π2)\sin(3\pi + x) + \cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) - \tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) ifadesindeki her bir terimi indirgeme formülleriyle sadeleştiriniz.
sin⁡(3π+x)=sin⁡(π+x)=−sin⁡(x)\sin(3\pi + x) = \sin(\pi + x) = -\sin(x)

cos⁡(5π2−x)=cos⁡(π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{5\pi}{2} - x\right) = \cos\left(\frac{\pi}{2} - x\right) = \sin(x)

−tan⁡(x−7π2)=−tan⁡(x+π2)=−(−cot⁡(x))=cot⁡(x)-\tan\left(x - \frac{7\pi}{2}\right) = -\tan\left(x + \frac{\pi}{2}\right) = -(-\cot(x)) = \cot(x) elde edilir.
İfadeyi en sade haline getirerek hesaplamayı kolaylaştırmak için.
4
Sadeleştirilmiş terimleri toplayıp elde edilen sonucu hesaplayınız.
A=−sin⁡(x)+sin⁡(x)+cot⁡(x)=cot⁡(x)=34A = -\sin(x) + \sin(x) + \cot(x) = \cot(x) = \frac{3}{4} bulunur.
İfadenin nihai değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri bulunduktan sonra eksenlere göre indirgenmesi ve bölgelerine göre işaret analizi yapılması.

Alternatif Yöntem

İndirgeme formüllerini uygulamak yerine birim çember üzerinde açıların bitim kenarlarının koordinat eksenlerindeki izdüşümleri düşünülerek de bölgelere göre işaret ve isim değişiklikleri belirlenebilir.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru