Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡12(11−xx−1)≥−1\log_{\frac{1}{2}}\left(\frac{11 - x}{x - 1}\right) \geq -1

e��itsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 45

Cevap

Eşitsizliği sağlayan x tam sayılarının toplamı 45'tir.
Logaritmanın tanım kümesi olan (1, 11) aralığı ile tabanın 1/2 olmasından dolayı yön değiştiren cebirsel eşitsizliğin çözüm kümesi olan (-inf, 1) U [13/3, inf) aralığı kesiştirildiğinde [13/3, 11) aralığı elde edilir. Bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, 7, 8, 9, 10 olup toplamları 45'tir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonunun tanım kümesini belirlemek.
1 < x < 11
Logaritmanın tanımlı olması için logaritması alınan ifadenin sıfırdan büyük olması gerekir.
2
Logaritma tabanına göre eşitsizliği düzenlemek.
(11 - x) / (x - 1) <= 2
Logaritmanın tabanı (1/2) 0 ile 1 arasında olduğundan, logaritma kaldırılırken eşitsizlik yön değiştirir.
3
Eşitsizliği sıfıra eşitleyip kökleri bulmak ve işaret incelemesi yapmak.
x < 1 veya x >= 13/3
(11 - x)/(x - 1) - 2 <= 0 ifadesi düzenlendiğinde (13 - 3x)/(x - 1) <= 0 elde edilir. Payın kök�� 13/3, paydanın kökü 1'dir. İşaret tablosu ile çözüm aralığı belirlenir.
4
Çözüm kümesi ile tanım kümesinin kesişimini bulmak.
[13/3, 11)
Bulunan çözümlerin logaritma tanımını da sağlaması gerektiğinden iki kümenin kesişimi alınır.
5
Aralıktaki tam sayıları bulup toplamak.
45
13/3 yaklaşık 4.33 olduğundan bu aralıktaki tam sayılar 5, 6, 7, 8, 9 ve 10'dur. Toplamları 45 yapar.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru