Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡12(x−1)log⁡3(x−2)−1≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x-1)}{\log_3(x-2) - 1} \geq 0 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı 99 dur.

Cevap: Cevap

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayıların toplamı 7 olduğundan verilen önerme yanlıştır.
Logaritmanın tanımlı olması için x−2>0⇒x>2x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır, bu yüzden x=2x=2 paydayı tanımsız yapar. Çözüm kümesindeki tam sayılar yalnızca 33 ve 44 olup toplamları 77'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Tanım kümesinin belirlenmesi
x>2x > 2 ve x≠5x \neq 5
Logaritmalı ifadelerin tanımlı olması için log⁡12(x−1)\log_{\frac{1}{2}}(x-1) ifadesinden x−1>0⇒x>1x-1 > 0 \Rightarrow x > 1, log⁡3(x−2)\log_3(x-2) ifadesinden x−2>0⇒x>2x-2 > 0 \Rightarrow x > 2 olmalıdır. Ayrıca paydanın sıfırdan farklı olması için log⁡3(x−2)−1≠0⇒x−2≠3⇒x≠5\log_3(x-2) - 1 \neq 0 \Rightarrow x-2 \neq 3 \Rightarrow x \neq 5 olmalıdır.
2
Payın işaretinin incelenmesi
Tanım kümesindeki her xx için pay negatiftir.
Paydaki ifadenin tabanı 12\frac{1}{2} olup 00 ile 11 arasındadır. x>2x > 2 için x−1>1x - 1 > 1 olur. Taban 0<12<10 < \frac{1}{2} < 1 olduğundan log⁡12(x−1)<log⁡12(1)=0\log_{\frac{1}{2}}(x-1) < \log_{\frac{1}{2}}(1) = 0 elde edilir.
3
Paydanın işaretinin incelenmesi
2<x<52 < x < 5 için payda negatif, x>5x > 5 için payda pozitiftir.
Paydayı sıfır yapan kök log⁡3(x−2)−1=0⇒x=5\log_3(x-2) - 1 = 0 \Rightarrow x = 5'tir. Taban 3>13 > 1 (artan) olduğundan x>5x > 5 için log⁡3(x−2)−1>0\log_3(x-2) - 1 > 0 ve 2<x<52 < x < 5 için log⁡3(x−2)−1<0\log_3(x-2) - 1 < 0 olur.
4
Eşitsizlik çözümünün birleştirilmesi
Çözüm kümesi: (2,5)(2, 5)
Bölümün ≥0\geq 0 olması istenmektedir. Pay daima negatif olduğundan, ifadenin sıfırdan büyük veya eşit olması için paydanın negatif (<0< 0) olması gerekir. Bu durumda 2<x<52 < x < 5 elde edilir.
5
Tam sayıların belirlenmesi ve toplamı
Toplam 77 olur.
(2,5)(2, 5) aralığındaki tam sayılar 33 ve 44'tür. Toplamları 3+4=73 + 4 = 7 olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Üstel ve logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi ve tabana göre eşitsizlik yönü tayini.

Alternatif Yöntem

İşaret tablosu yapmadan, payın negatif olduğunu (x>2x > 2 için) görerek, bölümün pozitif olması için paydanın kesinlikle negatif olması gerektiği (x−2<3⇒x<5x-2 < 3 \Rightarrow x < 5) analitik olarak da çözülebilir.
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru