Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
xx bir tam sayı olmak üzere,
log⁡13(x−1)+2log⁡2(11−x)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 2}{\log_2(11 - x) - 3} \geq 0
eşitsizliğini sağlayan xx değerlerinin toplamı kaçtır?
  1. A
    10
  2. B
    13
  3. 12Cevap
  4. D
    15
  5. E
    49

Cevap

Eşitsizliği sağlayan tam sayı de��erlerinin toplamı 12'dir.
Eşitsizliğin en geniş tanım kümesi belirlenirken logaritma fonksiyonlarının içleri sıfırdan büyük olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve 11−x>0  ⟹  x<1111 - x > 0 \implies x < 11 elde edilir. Paydanın sıfır olmama koşulundan x≠3x \neq 3 olmalıdır. Dolayısıyla tanım aralığı (1,11)∖{3}(1, 11) \setminus \{3\} olur. Payın kökü x=10x = 10'dur ve taban basit kesir olduğundan x>10x > 10 için pay negatif işaretlidir. Paydanın kökü x=3x = 3'tür ve xx'in önündeki işaret negatif olduğundan x>3x > 3 için payda negatif işaretlidir. Tanım aralığında yapılan işaret incelemesinde pozitif bölgeler (1,3)∪[10,11)(1, 3) \cup [10, 11) olarak bulunur. Bu aralıktaki tam sayılar 22 ve 1010 olup toplamları 1212'dir.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin en geniş tanım kümesini belirlemek.
Logaritma tan��mı gereği logaritmanın içi sıfırdan büyük olmalıdır. Buradan x−1>0  ⟹  x>1x - 1 > 0 \implies x > 1 ve 11−x>0  ⟹  x<1111 - x > 0 \implies x < 11 eşitsizlikleri elde edilir. Ayrıca payda sıfır olamayacağından, log⁡2(11−x)−3≠0  ⟹  11−x≠8  ⟹  x≠3\log_2(11 - x) - 3 \neq 0 \implies 11 - x \neq 8 \implies x \neq 3 olmalıdır. Bu şartların kesişimi ile tanım kümesi T=(1,11)∖{3}T = (1, 11) \setminus \{3\} olarak bulunur.
Logaritmik ifadelerin tanımlı olması ve rasyonel ifadenin paydasının sıfır olmaması için bu sınırların belirlenmesi zorunludur.
2
Pay ve paydanın köklerini bularak işaret değişimlerini incelemek.
Payın kökü: log⁡13(x−1)+2=0  ⟹  log⁡13(x−1)=−2  ⟹  x−1=9  ⟹  x=10\log_{\frac{1}{3}}(x - 1) + 2 = 0 \implies \log_{\frac{1}{3}}(x - 1) = -2 \implies x - 1 = 9 \implies x = 10 bulunur. Taban 13<1\frac{1}{3} < 1 (basit kesir) olduğundan, pay ifadesi x>10x > 10 için negatif, x<10x < 10 için pozitif değerler alır. Paydanın kökü: log⁡2(11−x)−3=0  ⟹  11−x=8  ⟹  x=3\log_2(11 - x) - 3 = 0 \implies 11 - x = 8 \implies x = 3 bulunur. Taban 2>12 > 1 olmakla birlikte xx değişkeninin önündeki işaret negatif olduğundan, payda ifadesi x>3x > 3 için negatif, x<3x < 3 için pozitif değerler alır.
İşaret tablosunda bölgelerin işaretlerini doğru tayin edebilmek için her bir çarpanın kökleri ve artanlık/azalanlık durumları incelenir.
3
İşaret tablosunu oluşturup çözüm kümesini belirlemek.
Kökler 33 ve 1010 işaret tablosuna yerleştirilir. Tanım kümesi olan (1,11)(1, 11) aralığında inceleme yapıldığında: (1,3)(1, 3) aralığında pay pozitif, payda pozitif olduğundan oran pozitif, (3,10](3, 10] aralığında pay pozitif, payda negatif olduğundan oran negatif, [10,11)[10, 11) aralığında pay negatif, payda negatif olduğundan oran pozitif olur. Eşitsizlik sıfırdan büyük veya eşit olmasını gerektirdiğinden çözüm kümesi S=(1,3)∪[10,11)S = (1, 3) \cup [10, 11) şeklinde bulunur.
Pay ve paydanın ortak işaret tablosu oluşturularak eşitsizlik şartını sağlayan bölgeler tespit edilir.
4
Çözüm kümesindeki tam sayıları bulup toplamak.
(1,3)(1, 3) aralığındaki tek tam sayı 22'dir. [10,11)[10, 11) aralığındaki tek tam sayı ise 1010'dur. Bu tam sayıların toplamı 2+10=122 + 10 = 12 olarak elde edilir.
Soru kökündeki toplam ifadesine ulaşmak için uygun tam sayılar belirlenerek toplanır.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru