Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Aşağıda verilen aa, bb ve cc trigonometrik değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1b=sin⁡(−7π18)b = \sin\left(-\frac{7\pi}{18}\right)
  2. 2c=tan⁡(1220∘)c = \tan(1220^\circ)
  3. 3a=cos⁡(220∘)a = \cos(220^\circ)

Cevap

Trigonometrik değerlerin doğru sıralanışı b<c<ab < c < a şeklindedir.
Verilen trigonometrik ifadeler indirgendiğinde a=−cos⁡(40∘)a = -\cos(40^\circ), b=−cos⁡(20∘)b = -\cos(20^\circ) ve c=−tan⁡(40∘)c = -\tan(40^\circ) elde edilir. Birinci bölgede cos⁡(20∘)>tan⁡(40∘)>cos⁡(40∘)>0\cos(20^\circ) > \tan(40^\circ) > \cos(40^\circ) > 0 olduğu bilinmektedir. Negatif işaretli bu değerlerin sıralaması tersine döneceğinden en küçük değer bb, ortanca değer cc ve en büyük değer aa olur.

Adım Adım Çözüm

1
a=cos⁡(220∘)a = \cos(220^\circ) ifadesinin bölgesini belirleyip birinci bölgedeki karşılığını bulunuz.
220∘220^\circ açısı III. bölgededir. Bu bölgede kosinüs fonksiyonunun işareti negatif olduğundan a=cos⁡(180∘+40∘)=−cos⁡(40∘)a = \cos(180^\circ + 40^\circ) = -\cos(40^\circ) elde edilir.
Karşılaştırma yapabilmek amacıyla tüm açıları birinci bölgedeki dar açı cinsinden ifade etmek gerekir.
2
b=sin⁡(−7π18)b = \sin\left(-\frac{7\pi}{18}\right) ifadesinin esas ölçüsünü bularak veya tek fonksiyon özelliğini kullanarak birinci bölgeye indirgeyiniz.
−7π18=−70∘-\frac{7\pi}{18} = -70^\circ açısı için sinüs fonksiyonunun tekliği kullanıldığında sin⁡(−70∘)=−sin⁡(70∘)\sin(-70^\circ) = -\sin(70^\circ) olur. Birbirini 90∘90^\circ'ye tamamlayan açıların sinüs ve kosinüs değerleri eşit olduğundan b=−cos⁡(20∘)b = -\cos(20^\circ) bulunur.
Farklı trigonometrik fonksiyonları kıyaslarken aynı cinsten (örneğin kosinüs cinsinden) yazmak sıralamayı kolaylaştırır.
3
c=tan⁡(1220∘)c = \tan(1220^\circ) ifadesinin esas ölçüsünü bulup birinci bölgeye indirgeyiniz.
1220∘1220^\circ açısının 360∘360^\circ ile bölümünden kalan 140∘140^\circ'dir. 140∘140^\circ açısı II. bölgede yer alır ve bu bölgede tanjant negatiftir. Buradan c=tan⁡(140∘)=tan⁡(180∘−40∘)=−tan⁡(40∘)c = \tan(140^\circ) = \tan(180^\circ - 40^\circ) = -\tan(40^\circ) elde edilir.
360∘360^\circ'den büyük açıların birim çember üzerindeki konumunu belirlemek için esas ölçü kullanılır.
4
Elde edilen birinci bölgedeki değerleri mutlak değerlerine göre karşılaştırıp ardından negatif sıralamasını yapınız.
Birinci bölgede kosinüs fonksiyonu azalandır, dolayısıyla cos⁡(20∘)>cos⁡(40∘)\cos(20^\circ) > \cos(40^\circ) olur.
Tanjant değeri için tan⁡(40∘)=sin⁡(40∘)cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) = \frac{\sin(40^\circ)}{\cos(40^\circ)} ifadesinde sin⁡(40∘)>cos⁡2(40∘)\sin(40^\circ) > \cos^2(40^\circ) olduğundan tan⁡(40∘)>cos⁡(40∘)\tan(40^\circ) > \cos(40^\circ) bulunur. Ayrıca cos⁡(20∘)>tan⁡(40∘)\cos(20^\circ) > \tan(40^\circ)'dir.
Böylece mutlak değerce sıralama 0<cos⁡(40∘)<tan⁡(40∘)<cos⁡(20∘)0 < \cos(40^\circ) < \tan(40^\circ) < \cos(20^\circ) şeklindedir.
İfadeler negatif olduğundan sıralama yön değiştirir: −cos⁡(20∘)<−tan⁡(40∘)<−cos⁡(40∘)-\cos(20^\circ) < -\tan(40^\circ) < -\cos(40^\circ) yani b<c<ab < c < a bulunur.
Negatif gerçel sayılarda mutlak değerce büyük olan sayı sıfırdan daha uzak olduğundan daha küçüktür.

Anahtar Kavram

Trigonometrik ifadelerin bölgelerine göre indirgenmesi ve sıralanması
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru