Examkin

Soru

Zorluk: Çok zorTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
θ∈(5π6,π)\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) olmak üzere,
x=cos⁡(θ−7π2)x = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right)
y=tan⁡(θ−3π)y = \tan\left(\theta - 3\pi\right)
z=sin⁡(9π2+θ)z = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta\right)

olarak tanımlanıyor.

Buna göre; xx, yy ve zz değerlerini küçükten büyüğe doğru sıralayınız.

  1. 1zz
  2. 2yy
  3. 3xx

Cevap

Verilen ifadeler indirgendiğinde ve aralık analizi yapıldığında doğru sıralama z < y < x şeklindedir.
Verilen açılar esas ölçülerine getirilip indirgeme formülleriyle sadeleştirildiğinde x=−sin⁡θx = -\sin\theta, y=tan⁡θy = \tan\theta ve z=cos⁡θz = \cos\theta elde edilir. θ\theta açısı ikinci bölgede olduğundan bu üç değer de negatiftir. θ=π−α\theta = \pi - \alpha dönüşümüyle dar açıya geçildiğinde x=−sin⁡αx = -\sin\alpha, y=−tan⁡αy = -\tan\alpha ve z=−cos⁡αz = -\cos\alpha olur. 0<α<30∘0 < \alpha < 30^\circ aralığında mutlak değerce en büyük olan cos⁡α\cos\alpha, en küçük olan ise sin⁡α\sin\alpha olduğundan, negatif işaretliler sıralandığında en küçük değer z, en büyük değer ise x olur.

Adım Adım Çözüm

1
x, y ve z ifadelerine indirgeme formüllerini uygulayarak en sade trigonometrik biçimlerini bulalım.
x=cos⁡(θ−7π2+4π)=cos⁡(θ+π2)=−sin⁡θx = \cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2} + 4\pi\right) = \cos\left(\theta + \frac{\pi}{2}\right) = -\sin\theta

y=tan⁡(θ−3π)=tan⁡θy = \tan\left(\theta - 3\pi\right) = \tan\theta (tanjant fonksiyonunun periyodu π\pi olduğundan)

z=sin⁡(9π2+θ−4π)=sin⁡(π2+θ)=cos⁡θz = \sin\left(\frac{9\pi}{2} + \theta - 4\pi\right) = \sin\left(\frac{\pi}{2} + \theta\right) = \cos\theta
Bölgelere göre indirgeme kurallarını ve esas ölçü kavramını uygulamak için.
2
Açı aralığını ve bu aralıktaki işaretleri belirleyelim.
θ∈(5π6,π)\theta \in \left(\frac{5\pi}{6}, \pi\right) aralığı ikinci bölgededir (150° ile 180° arası). İkinci bölgede:
- sin⁡θ>0⇒x=−sin⁡θ<0\sin\theta > 0 \Rightarrow x = -\sin\theta < 0
- tan⁡θ<0⇒y=tan⁡θ<0\tan\theta < 0 \Rightarrow y = \tan\theta < 0
- cos⁡θ<0⇒z=cos⁡θ<0\cos\theta < 0 \Rightarrow z = \cos\theta < 0
Her üç değer de negatiftir.
Değerlerin hangi bölgede yer aldığını belirleyip işaret analizi yapmak için.
3
İfadeleri kıyaslamak için dar açı cinsinden yazalım.
θ=π−α\theta = \pi - \alpha dönüşümü yapalım. Buradan α∈(0,π6)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) olur (yani 0° ile 30° arası). Bu durumda:
- x=−sin⁡(π−α)=−sin⁡αx = -\sin(\pi - \alpha) = -\sin\alpha
- y=tan⁡(π−α)=−tan⁡αy = \tan(\pi - \alpha) = -\tan\alpha
- z=cos⁡(π−α)=−cos⁡αz = \cos(\pi - \alpha) = -\cos\alpha
Dar açılarda büyüklük kıyaslaması daha kolay yapıldığı için.
4
Dar açı aralığı olan (0, 30°) için fonksiyonların mutlak büyüklüklerini kıyaslayalım.
α∈(0,π6)\alpha \in \left(0, \frac{\pi}{6}\right) için:
- 0<sin⁡α<tan⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha her zaman doğrudur çünkü bu aralıkta cos⁡α<1\cos\alpha < 1 olduğundan tan⁡α=sin⁡αcos⁡α>sin⁡α\tan\alpha = \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha} > \sin\alpha olur.
- α<30∘\alpha < 30^\circ iken tan⁡α<tan⁡(30∘)=33≈0.577\tan\alpha < \tan(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{3} \approx 0.577 ve cos⁡α>cos⁡(30∘)=32≈0.866\cos\alpha > \cos(30^\circ) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866 olduğundan tan⁡α<cos⁡α\tan\alpha < \cos\alpha olur.
- Buradan 0<sin⁡α<tan⁡α<cos⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha elde edilir.
Fonksiyonların dar açı değer aralıklarını netleştirerek kıyaslamak için.
5
Elde edilen eşitsizliği negatif işaretlerle çarparak x, y ve z değerlerini sıralayalım.
0<sin⁡α<tan⁡α<cos⁡α0 < \sin\alpha < \tan\alpha < \cos\alpha eşitsizliği −1-1 ile çarpılırsa yön değiştirir:

−cos⁡α<−tan⁡α<−sin⁡α-\cos\alpha < -\tan\alpha < -\sin\alpha

Bu da bizi doğrudan z<y<xz < y < x sıralamasına götürür.
Negatif sayılarda mutlak değerce büyük olan sayının daha küçük olması kuralını uygulamak için.

Anahtar Kavram

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi ve Sıralanması
Tahmini Süre:3m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru