Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bir xx dar açısı için,

cos⁡(13π2−x)−sin⁡(7π+x)sin⁡(x−9π2)+cos⁡(5π−x)\frac{\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) - \sin(7\pi + x)}{\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) + \cos(5\pi - x)}

ifadesinin en sade biçimi aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    tan⁡(x)\tan(x)
  2. B
    −cot⁡(x)-\cot(x)
  3. −tan⁡(x)-\tan(x)Cevap
  4. D
    cot⁡(x)\cot(x)
  5. E
    00

Cevap

İfadenin en sade biçimi −tan⁡(x)-\tan(x) olarak bulunur.
Verilen ifadede pay kısmındaki cos⁡(13π/2−x)=sin⁡(x)\cos(13\pi/2 - x) = \sin(x) ve sin⁡(7π+x)=−sin⁡(x)\sin(7\pi + x) = -\sin(x) olarak sadeleşir. Buradan pay sin⁡(x)−(−sin⁡(x))=2sin⁡(x)\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x) bulunur. Paydada ise sin⁡(x−9π/2)=sin⁡(3π/2+x)=−cos⁡(x)\sin(x - 9\pi/2) = \sin(3\pi/2 + x) = -\cos(x) ve cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = -\cos(x) olur. Buradan payda −cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=−2cos⁡(x)-\cos(x) + (-\cos(x)) = -2\cos(x) elde edilir. Bu iki ifadenin birbirine oranı olan 2sin⁡(x)−2cos⁡(x)\frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} ifadesi sadeleştiğinde −tan⁡(x)-\tan(x) değerine eşit olur.

Adım Adım Çözüm

1
Paydaki ilk terim olan cos⁡(13π2−x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) ifadesini indirgeyelim.
cos⁡(13π2−x)=sin⁡(x)\cos\left(\frac{13\pi}{2} - x\right) = \sin(x)
13π2\frac{13\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. Birinci bölgede kosinüs pozitif değer alır ve açı π2\frac{\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon sinüse dönüşür.
2
Paydaki ikinci terim olan sin⁡(7π+x)\sin(7\pi + x) ifadesini indirgeyelim.
sin⁡(7π+x)=−sin⁡(x)\sin(7\pi + x) = -\sin(x)
7π7\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. Üçüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı π\pi cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.
3
Paydadaki ilk terim olan sin⁡(x−9π2)\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) ifadesini indirgeyelim.
sin⁡(x−9π2)=−cos⁡(x)\sin\left(x - \frac{9\pi}{2}\right) = -\cos(x)
Açıya 6π6\pi eklenerek esas ölçü bulunur: x−9π2+12π2=3π2+xx - \frac{9\pi}{2} + \frac{12\pi}{2} = \frac{3\pi}{2} + x. Dördüncü bölgede sinüs negatif değer alır ve açı 3π2\frac{3\pi}{2} cinsinden yazıldığı için fonksiyon kosinüse dönüşür.
4
Paydadaki ikinci terim olan cos⁡(5π−x)\cos(5\pi - x) ifadesini indirgeyelim.
cos⁡(5π−x)=−cos⁡(x)\cos(5\pi - x) = -\cos(x)
5π5\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. İkinci bölgede kosinüs negatif değer alır ve açı π\pi cinsinden yazıldığı için fonksiyon ismi değişmez.
5
Elde edilen sonuçları ana kesirde yerine koyup sadeleştirelim.
sin⁡(x)−(−sin⁡(x))−cos⁡(x)+(−cos⁡(x))=2sin⁡(x)−2cos⁡(x)=−tan⁡(x)\frac{\sin(x) - (-\sin(x))}{-\cos(x) + (-\cos(x))} = \frac{2\sin(x)}{-2\cos(x)} = -\tan(x)
Pay kısmında sin⁡(x)−(−sin⁡(x))=2sin⁡(x)\sin(x) - (-\sin(x)) = 2\sin(x) ve paydada −cos⁡(x)−cos⁡(x)=−2cos⁡(x)-\cos(x) - \cos(x) = -2\cos(x) işlemleri yapılır. Sadeleştirme sonucunda oran −tan⁡(x)-\tan(x) olarak bulunur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri, bölgelere göre işaretleri ve eksen dönüşüm kuralları.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru