Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi
Dik koordinat düzleminde, merkezi orijin olan birim çember üzerindeki bir PP noktası üçüncü bölgededir. Bu PP noktasının koordinatları P(x,−53)P\left(x, -\frac{\sqrt{5}}{3}\right) olarak verilmiştir. PP noktasını orijine birleştiren doğrunun pozitif yönlü xx ekseniyle yaptığı açı θ\theta olmak üzere, cos⁡(π+θ)−tan⁡(3π2−θ)\cos(\pi + \theta) - \tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) ifadesinin değeri aşağıdakilerden hangisidir?
  1. 10−6515\frac{10 - 6\sqrt{5}}{15}Cevap
  2. B
    10+6515\frac{10 + 6\sqrt{5}}{15}
  3. C
    −10−6515\frac{-10 - 6\sqrt{5}}{15}
  4. D
    −10+6515\frac{-10 + 6\sqrt{5}}{15}
  5. E
    4−356\frac{4 - 3\sqrt{5}}{6}

Cevap

İfadenin değeri \frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} olarak bulunur.
İndirgeme formüllerine göre cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta ve tan⁡(3π2−θ)=cot⁡θ\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta eşitlikleri geçerlidir. Birim çember üzerinde üçüncü bölgede koordinatları P(−23,−53)P\left(-\frac{2}{3}, -\frac{\sqrt{5}}{3}\right) olan nokta için cos⁡θ=−23\cos\theta = -\frac{2}{3} ve cot⁡θ=255\cot\theta = \frac{2\sqrt{5}}{5} değerleri hesaplanır. Bu değerler −cos⁡θ−cot⁡θ-\cos\theta - \cot\theta ifadesinde yerine yazıldığında 10−6515\frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} değeri elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
P noktasının apsisini bulmak için birim çember denklemini uygulayın.
P(x,y)P(x, y) noktası birim çember üzerinde olduğundan x2+y2=1x^2 + y^2 = 1 eşitliği sağlan��r. Buradan x2+(−53)2=1  ⟹  x2+59=1  ⟹  x2=49x^2 + \left(-\frac{\sqrt{5}}{3}\right)^2 = 1 \implies x^2 + \frac{5}{9} = 1 \implies x^2 = \frac{4}{9} elde edilir. PP noktası üçüncü bölgede olduğundan apsisi negatif olmalıdır, yani x=−23x = -\frac{2}{3} olur.
Trigonometrik değerlerin hesaplanabilmesi için birim çember üzerindeki noktanın eksik olan koordinatını belirlemek gerekir.
2
Açının kosinüs ve kotanjant değerlerini belirleyin.
PP noktasının koordinatları (cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos\theta, \sin\theta) olduğundan cos⁡θ=−23\cos\theta = -\frac{2}{3} ve sin⁡θ=−53\sin\theta = -\frac{\sqrt{5}}{3} bulunur. Buradan kotanjant değeri cot⁡θ=cos⁡θsin⁡θ=−2/3−5/3=25=255\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta} = \frac{-2/3}{-\sqrt{5}/3} = \frac{2}{\sqrt{5}} = \frac{2\sqrt{5}}{5} olarak hesaplanır.
İndirgenmiş ifadede yerlerine yazılacak olan temel trigonometrik değerleri elde etmek için.
3
İfadeyi indirgeme formülleriyle sadeleştirip değerleri yerlerine yazın.
cos⁡(π+θ)=−cos⁡θ\cos(\pi + \theta) = -\cos\theta ve tan⁡(3π2−θ)=cot⁡θ\tan\left(\frac{3\pi}{2} - \theta\right) = \cot\theta eşitlikleri kullanılarak ifade −cos⁡θ−cot⁡θ-\cos\theta - \cot\theta haline getirilir. Değerler yerine yazıldığında −(−23)−255=23−255=10−6515-\left(-\frac{2}{3}\right) - \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{2}{3} - \frac{2\sqrt{5}}{5} = \frac{10 - 6\sqrt{5}}{15} elde edilir.
İndirgeme formüllerini doğru uygulayarak ifadenin en sade halinin sayısal değerine ulaşmak için.

Anahtar Kavram

Birim çember üzerindeki noktaların koordinatları ile trigonometrik oranlar arasındaki ilişki ve trigonometrik oranların bölgelere göre indirgenmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru