x ve y birer dar açı olmak üzere, 3\sin x \cos y + \cos x \sin y = 2 \sin x \cos y + 3\cos x \sin y = 1 \neşitlikleri veriliyor. Buna göre, x - y farkı kaç derecedir?

x ve y birer dar açı olmak üzere, 3\sin x \cos y + \cos x \sin y = 2 \sin x \cos y + 3\cos… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

$x$ ve $y$ birer dar açı olmak üzere,

3\sin x \cos y + \cos x \sin y = 2

\sin x \cos y + 3\cos x \sin y = 1

eşitlikleri veriliyor.

Buna göre, $x - y$ farkı kaç derecedir?

Cevap: 30 derece

Verilen denklem sisteminden sinüs fark formülü yardımıyla

\sin(x-y) = \frac{1}{2}

elde edilir.

x

y

dar açılar olduğundan

x-y = 30^\circ

bulunur.

Verilen iki denklem

u = \sin x \cos y

v = \cos x \sin y

değişkenleriyle iki bilinmeyenli denklem sistemine dönüştürülür:

3u + v = 2

u + 3v = 1

. Bu sistem çözüldüğünde

u = 5/8

v = 1/8

bulunur. Sinüs fark formülü

\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

olduğundan,

\sin(x-y) = u - v = 5/8 - 1/8 = 1/2

olur.

x

y

dar açılar olduğu için

-90^\circ < x-y < 90^\circ

olup bu aralıkta sinüsü

1/2

olan tek açı

30^\circ

derecedir.

u = \sin x \cos y

v = \cos x \sin y

değişken tanımlamaları yapılır.

Sistem

3u + v = 2

u + 3v = 1

biçimini alır.

Trigonometrik ifadeleri daha kolay çözülebilir bir doğrusal denklem sistemine dönüştürmek için.

Elde edilen doğrusal denklem sistemi yok etme yöntemiyle çözülür.

u = \frac{5}{8}

v = \frac{1}{8}

bulunur.

Bilinmeyen trigonometrik çarpımların sayısal değerlerini tespit etmek için.

Sinüsün fark formülü olan

\sin(x-y) = \sin x \cos y - \cos x \sin y

ifadesinde bulunan değerler yerine yazılır.

\sin(x-y) = \frac{5}{8} - \frac{1}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}

elde edilir.

İstenen

x-y

açısına ulaşmak için gerekli olan sinüs değerini hesaplamak için.

x

y

dar açılar olduğundan

-90^\circ < x-y < 90^\circ

aralığı göz önüne alınarak

x-y

değeri belirlenir.

x-y = 30^\circ

bulunur.

Açı sınırlandırmalarını kullanarak sinüs değeri

\frac{1}{2}

olan uygun açıyı bulmak için.

İki açının farkının sinüs açılımı formülü:

\sin(a-b) = \sin a \cos b - \cos a \sin b