Examkin

Soru

Zorluk: OrtaTrigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

θ\theta bir dar açı olmak üzere,

cos⁡(θ−7π2)⋅tan⁡(13π+θ)sin⁡(5π−θ)⋅cot⁡(9π2−θ)\frac{\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) \cdot \tan(13\pi + \theta)}{\sin(5\pi - \theta) \cdot \cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right)}

ifadesinin en sade şekli aşağıdakilerden hangisidir?

  1. A
    −tan⁡2θ-\tan^2\theta
  2. B
    11
  3. −1-1Cevap
  4. D
    −cot⁡2θ-\cot^2\theta
  5. E
    tan⁡2θ\tan^2\theta

Cevap

İfadenin en sade şekli −1-1 olarak bulunur.
Verilen ifadeyi sadeleştirmek için her bir trigonometrik fonksiyon ayrı ayrı indirgenir. Kosinüs çift fonksiyon olduğundan cos⁡(θ−7π/2)=cos⁡(7π/2−θ)\cos(\theta - 7\pi/2) = \cos(7\pi/2 - \theta) yazılabilir. 7π/27\pi/2 açısının esas ölçüsü 3π/23\pi/2 olup, üçüncü bölgede kosinüs negatif işaretlidir ve isim değiştirerek −sin⁡θ-\sin\theta olur. Tanjantın periyodu π\pi olduğundan tan⁡(13π+θ)=tan⁡θ\tan(13\pi + \theta) = \tan\theta olur. Paydadaki 5π5\pi açısının esas ölçüsü π\pi olup, ikinci bölgede sinüs pozitif olduğundan sin⁡(5π−θ)=sin⁡θ\sin(5\pi - \theta) = \sin\theta olur. Son olarak 9π/29\pi/2 açısının esas ölçüsü π/2\pi/2 olup, birinci bölgede kotanjant pozitif ve isim değiştirerek tan⁡θ\tan\theta olur. Değerler kesirde yerine yazıldığında pay (−sin⁡θ)⋅tan⁡θ(-\sin\theta) \cdot \tan\theta, payda ise sin⁡θ⋅tan⁡θ\sin\theta \cdot \tan\theta olur ve sadeleştirme sonucunda −1-1 elde edilir.

Adım Adım Çözüm

1
Pay kısmındaki kosinüs terimini esas ölçü ve indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.
cos⁡(θ−7π2)=−sin⁡θ\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) = -\sin\theta
Kosinüs fonksiyonu çift fonksiyon olduğundan cos⁡(x)=cos⁡(−x)\cos(x) = \cos(-x) eşitliği geçerlidir. Buradan cos⁡(θ−7π2)=cos⁡(7π2−θ)\cos\left(\theta - \frac{7\pi}{2}\right) = \cos\left(\frac{7\pi}{2} - \theta\right) elde edilir. 7π2\frac{7\pi}{2} açısının esas ölçüsü 3π2\frac{3\pi}{2} radyandır. 3π2−θ\frac{3\pi}{2} - \theta açısı üçüncü bölgede yer alır. Üçüncü bölgede kosinüsün işareti negatif olduğundan ve 3π2\frac{3\pi}{2} referans alındığından isim değişerek −sin⁡θ-\sin\theta olur.
2
Pay kısmındaki tanjant teriminin esas ölçüsünü bularak sadeleştirmek.
tan⁡(13π+θ)=tan⁡θ\tan(13\pi + \theta) = \tan\theta
Tanjant fonksiyonunun periyodu π\pi radyandır. Dolayısıyla 13π13\pi açısının içindeki tüm π\pi katları atıldığında ifadenin değeri değişmez ve doğrudan tan⁡θ\tan\theta olarak sadeleşir.
3
Payda kısmındaki sinüs ve kotanjant terimlerini indirgeme kuralları ile sadeleştirmek.
sin⁡(5π−θ)=sin⁡θ\sin(5\pi - \theta) = \sin\theta ve cot⁡(9π2−θ)=tan⁡θ\cot\left(\frac{9\pi}{2} - \theta\right) = \tan\theta
5π5\pi açısının esas ölçüsü π\pi radyandır. π−θ\pi - \theta açısı ikinci bölgede yer alır. İkinci bölgede sinüs fonksiyonunun işareti pozitif olduğundan sin⁡(π−θ)=sin⁡θ\sin(\pi - \theta) = \sin\theta olur. 9π2\frac{9\pi}{2} açısının esas ölçüsü π2\frac{\pi}{2} radyandır. π2−θ\frac{\pi}{2} - \theta açısı birinci bölgede yer alır. Birinci bölgede tüm fonksiyonlar pozitif olup π2\frac{\pi}{2} referans alındığından isim değişerek tan⁡θ\tan\theta olur.
4
Elde edilen sadeleşmiş terimleri ana kesirde yerine yazarak sadeleştirme işlemini tamamlamak.
(−sin⁡θ)⋅tan⁡θsin⁡θ⋅tan⁡θ=−1\frac{(-\sin\theta) \cdot \tan\theta}{\sin\theta \cdot \tan\theta} = -1
Payda ve pay kısmında yer alan sin⁡θ\sin\theta ve tan⁡θ\tan\theta terimleri birbirini sadeleştirir. Geriye yalnızca pay kısmından gelen eksi işareti kalır, böylece sonuç −1-1 olur.

Anahtar Kavram

Trigonometrik fonksiyonların esas ölçüleri bulunduktan sonra, açının bölgesine göre fonksiyonun işaretinin belirlenmesi ve eksen referansına (π\pi veya π2\frac{\pi}{2}) göre isim değiştirip değiştirmeyeceğine karar verilmesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Trigonometrik Oranların Bölgelere Göre İndirgenmesi

Bu konudan daha fazla soru