Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡12(x−3x+2)≥1\log_{\frac{1}{2}} \left( \frac{x - 3}{x + 2} \right) \geq 1 eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?
  1. A
    35
  2. B
    33
  3. 30Cevap
  4. D
    2
  5. E
    -25

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 30'dur.
Doğru cevap olan 30 değerine ulaşmak için, logaritmanın argümanının pozitif olması şartından gelen (−∞,−2)∪(3,∞)(-\infty, -2) \cup (3, \infty) aralığ�� ile logaritmik eşitsizlikten elde edilen (−2,8](-2, 8] aralığının kesişimi alınarak (3,8](3, 8] aralığı bulunur. Bu aralıktaki tam sayıların toplamı 30'dur.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmanın tanım kümesini belirlemek için logaritmanın içinin pozitif olması koşulu incelenir.
x−3x+2>0\frac{x - 3}{x + 2} > 0 eşitsizliğinin kökleri x=−2x = -2 ve x=3x = 3'tür. İşaret tablosu yapıldığında tanım kümesi D=(−∞,−2)∪(3,∞)D = (-\infty, -2) \cup (3, \infty) olarak bulunur.
Logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için argümanının (içinin) daima sıfırdan b��yük olması gerekir.
2
Logaritmik eşitsizlik çözülür. Logaritma tabanı 00 ile 11 arasında olduğundan eşitsizlik yön değiştirir.
x−3x+2≤(12)1  ⟹  x−3x+2≤12\frac{x - 3}{x + 2} \leq \left(\frac{1}{2}\right)^1 \implies \frac{x - 3}{x + 2} \leq \frac{1}{2} elde edilir.
Logaritmanın tabanı basit kesir (0<a<10 < a < 1) olduğunda, eşitsizlik çözülürken yön değiştirir.
3
Elde edilen rasyonel eşitsizlik çöz��lür.
x−3x+2−12≤0  ⟹  2(x−3)−(x+2)2(x+2)≤0  ⟹  x−82(x+2)≤0\frac{x - 3}{x + 2} - \frac{1}{2} \leq 0 \implies \frac{2(x - 3) - (x + 2)}{2(x + 2)} \leq 0 \implies \frac{x - 8}{2(x + 2)} \leq 0 Bu eşitsizliğin kökleri x=−2x = -2 ve x=8x = 8'dir. Tablo incelendiğinde çözüm aralığı (−2,8](-2, 8] olarak bulunur.
Rasyonel eşitsizlikleri çözmek için tüm terimler bir tarafa toplanıp paydalar eşitlenerek işaret tablosu oluşturulur.
4
Tanım kümesi ile eşitsizlikten gelen çözüm kümesi kesiştirilir.
S=((−∞,−2)∪(3,∞))∩(−2,8]=(3,8]S = ( (-\infty, -2) \cup (3, \infty) ) \cap (-2, 8] = (3, 8] aralığı elde edilir.
Eşitsizliği sağlayan değerlerin aynı zamanda fonksiyonu tanımlı kılması gerekir.
5
Elde edilen en geniş çözüm aralığındaki tam sayılar belirlenir ve toplanır.
Bu aralıktaki tam sayılar 4,5,6,7,84, 5, 6, 7, 8'dir. Toplamları ise 4+5+6+7+8=304 + 5 + 6 + 7 + 8 = 30 olarak bulunur.
Soru kökünün bizden istediği, eşitsizliği sağlayan tüm tam sayı değerlerinin toplamıdır.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tanım kümesi kontrolü, tabanın basit kesir olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel eşitsizliklerde işaret tablosunun doğru şekilde oluşturulması.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru