Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

Gerçel sayılar kümesi üzerinde tanımlı f(x)=(a2−2a)xf(x) = (a^2 - 2a)^x fonksiyonunun bir üstel fonksiyon belirtmesi için aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı (2,∞)∖{1+2}(2, \infty) \setminus \{1 + \sqrt{2}\} kümesidir.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır. aa parametresinin alabileceği en geniş değer aralığı ((−∞,0)∪(2,∞))∖{1−2,1+2}((-\infty, 0) \cup (2, \infty)) \setminus \{1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\} kümesidir.
Üstel fonksiyonun tabanı olan a2−2aa^2 - 2a ifadesinin pozitif ve 1'den farklı olması şartı çözüldüğünde aa için hem pozitif hem de negatif bölgelerde uygun değerler bulunur. Verilen önerme negatif bölgeyi (a<0a < 0) tamamen dışarıda bıraktığı için yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyon tabanının pozitif olma şartının incelenmesi
a(a−2)>0  ⟹  a∈(−∞,0)∪(2,∞)a(a - 2) > 0 \implies a \in (-\infty, 0) \cup (2, \infty)
Bir fonksiyonun bxb^x biçiminde üstel fonksiyon belirtebilmesi için tabanının pozitif (b>0b > 0) olması gerekir.
2
Tabanın 1'den farklı olma şartının incelenmesi
a2−2a≠1  ⟹  a2−2a−1≠0  ⟹  a≠1±2a^2 - 2a \neq 1 \implies a^2 - 2a - 1 \neq 0 \implies a \neq 1 \pm \sqrt{2}
Üstel fonksiyon tanımı gereği taban 1'e eşit olamaz (b≠1b \neq 1).
3
Elde edilen şartların birleştirilerek en geniş aralığın bulunması
a∈((−∞,0)∪(2,∞))∖{1−2,1+2}a \in ((-\infty, 0) \cup (2, \infty)) \setminus \{1 - \sqrt{2}, 1 + \sqrt{2}\}
Hem pozitiflik hem de 1'den farklı olma koşullarını sağlayan tüm gerçel sayılar kümesi belirlenir.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyon tanımında tabanın pozitif (b>0b > 0) ve 1'den farklı (b≠1b \neq 1) olması kuralı ve bu kuralın değişken parametreler üzerindeki eşitsizlik analizlerine uygulanması.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru