Sürtünmesiz yatay bir düzlemde, r yarıçaplı dairesel yörüngede v büyüklüğünde sabit çizgis… — YKS AYT (Alan Yeterlilik Testi)

Sürtünmesiz yatay bir düzlemde, $r$ yarıçaplı dairesel yörüngede $v$ büyüklüğünde sabit çizgisel süratle düzgün çembersel hareket yapan noktasal bir cisim, yörüngesi üzerindeki $K$ noktasından $L$ noktasına ilk kez geldiğinde hız vektörünün yönü $90^\circ$ değişmektedir.

Cismin $K$ noktasından $L$ noktasına gelme sürecindeki ortalama ivmesinin büyüklüğü $a_{\text{ort}}$ , $K$ noktasındaki merkezcil ivmesinin büyüklüğü $a_{\text{m}}$ olduğuna göre, $\frac{a_{\text{ort}}}{a_{\text{m}}}$ oranı kaçtır?

A
$0$
B
$\frac{2}{\pi}$
C
$\frac{\sqrt{2}}{\pi}$
$\frac{2\sqrt{2}}{\pi}$ Cevap
E
$\frac{4}{\pi}$

Cevap

İki ivmenin oranı 2 kök 2 bölü pi olarak bulunur.

Hız vektörünün yönünün 90 derece değişmesi, cismin çeyrek periyotluk hareket yaptığını gösterir. Geçen süre t = pi*r / (2v) ve vektörel hız değişimi delta_v = v*sqrt(2) olduğundan ortalama ivme 2*sqrt(2)*v^2 / (pi*r) olur. Merkezcil ivme v^2/r olduğundan bu değerler oranlandığında pi cinsinden 2*sqrt(2)/pi elde edilir.

Adım Adım Çözüm

Cismin K noktasından L noktasına gelene kadar geçen süreyi (t) periyot (T) cinsinden belirlemek.

Hız vektörünün 90 derece yön değiştirmesi yörüngenin çeyreğinin kat edildiğini gösterir. Bu durumda geçen süre t = T/4 olur.

Ortalama ivmeyi hesaplamak için geçen zaman dilimini bulmamız gerekir.

Cismin periyodu (T) ile çizgisel sürati (v) ve yörünge yarıçapı (r) arasındaki ilişkiyi yazarak süreyi bu değişkenler cinsinden ifade etmek.

Düzgün çembersel harekette çizgisel sürat v = 2*pi*r / T şeklindedir. Buradan periyot T = 2*pi*r / v olarak çekilir. Geçen süre ise t = T/4 = pi*r / (2v) olur.

Ortalama ivme formülündeki zaman ifadesini sürat ve yarıçap cinsinden yazmak.

Cismin K ve L noktaları arasındaki hız değişim vektörünün büyüklüğünü bulmak.

K noktasındaki hız vektörü ile L noktasındaki hız vektörü arasındaki açı 90 derecedir. Hızların büyüklüğü v olduğundan, vektörel hız değişimi delta_v = v*sqrt(2) olur.

Ortalama ivme birim zamandaki hız değişimi olduğundan hız değişiminin büyüklüğü hesaplanmalıdır.

Ortalama ivmenin büyüklüğünü hesaplamak.

a_ort = delta_v / t = v*sqrt(2) / (pi*r / (2v)) = 2*sqrt(2)*v^2 / (pi*r) elde edilir.

Ortalama ivmenin büyüklüğünü veren ifadeyi bulmak.

Merkezcil ivme büyüklüğünü yazarak ortalama ivmeye oranlamak.

Merkezcil ivme büyüklüğü a_m = v^2/r formülüyle verilir. Buradan oran a_ort / a_m = (2*sqrt(2)*v^2 / (pi*r)) / (v^2/r) = 2*sqrt(2)/pi bulunur.

Soruda istenen ivmeler oranını bulmak.

Anahtar Kavram

Ortalama ivme vektörel hız değişiminin geçen süreye oranıdır. Merkezcil ivme ise düzgün çembersel harekette yörünge merkezine doğru olan anlık ivmedir.

Tahmini Süre:2m 0s

Soru

Cevap

Adım Adım Çözüm

Anahtar Kavram

Sık Yapılan Hatalar

Konular

Bu konudan daha fazla soru