Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri
Gerçel sayılar kümesinde tanımlı f(x)=(a2−3a+3)xf(x) = (a^2 - 3a + 3)^x fonksiyonu, tanımlı olduğu her aa gerçel sayısı için daima artan bir üstel fonksiyondur.

Cevap: Cevap

Cevap

Verilen ifade yanlıştır.
Üstel fonksiyonun artan olması için taban değerinin 11'den büyük olması şarttır. Verilen fonksiyonun tabanı olan a2−3a+3a^2 - 3a + 3 ifadesi, 1<a<21 < a < 2 aralığındaki aa değerleri için 11'den küçük olup 00 ile 11 arasında değerler aldığından fonksiyon bu aralıkta azalan özellik gösterir. Bu nedenle ifadenin daima artan olduğu iddiası yanlıştır.

Adım Adım Çözüm

1
Üstel fonksiyonun tanımını ve artanlık şartını belirlemek.
f(x)=bxf(x) = b^x fonksiyonunun üstel fonksiyon belirtmesi için b>0b > 0 ve b≠1b \neq 1 olmalıdır. Bu fonksiyonun artan olması için ise tabanın b>1b > 1 şartını sağlaması gerekir.
Üstel fonksiyonlarda taban 11'den büyük olduğunda fonksiyon artan, 00 ile 11 arasında olduğunda ise azalan olur.
2
Verilen fonksiyonun taban ifadesini artanlık şartına göre incelemek.
a2−3a+3>1a^2 - 3a + 3 > 1 eşitsizliği düzenlendiğinde a2−3a+2>0a^2 - 3a + 2 > 0 elde edilir. Bu ifade çarpanlarına ayrıldığında (a−1)(a−2)>0(a - 1)(a - 2) > 0 olur.
Tabanın hangi aa değerleri için 11'den büyük (artan) olduğunu tespit etmek amacıyla eşitsizlik çözülür.
3
Eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak ve ifadeyi değerlendirmek.
Tabanın 11'den büyük olduğu aralık a<1a < 1 veya a>2a > 2 aralığıdır. Ancak 1<a<21 < a < 2 aralığındaki aa değerleri için taban 00 ile 11 arasında kalır (örneğin a=1.5a = 1.5 için taban 0.750.75 olur). Bu durumda fonksiyon azalan bir üstel fonksiyondur.
Tanımlı her aa değeri için fonksiyonun artan olmadığını göstererek ifadenin yanlış olduğunu kanıtlamak.

Anahtar Kavram

Üstel fonksiyonların tanım kümesi ve taban özelliklerine göre artanlık/azalanlık durumlarının belirlenmesi
Tahmini Süre:1m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel Fonksiyon Tanımı ve Özellikleri

Bu konudan daha fazla soru