Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
xx bir gerçel sayı olmak üzere,
log⁡12(x−3)+1log⁡5(x2−4x)−1≤0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 3) + 1}{\log_5(x^2 - 4x) - 1} \leq 0
eşitsizliğini sağlayan en küçük iki farklı xx tam sayısının toplamı kaçtır?
  1. A
    9
  2. B
    10
  3. C
    11
  4. D
    12
  5. 13Cevap

Cevap

Eşitsizliği sağlayan en küçük iki farklı tam sayının toplamı 13'tür.
Eşitsizliğin en geniş tanım kümesi olan x>4x > 4 sınırları içinde, paydayı sıfır yapan x=5x = 5 değerinin elenmesiyle oluşan çözüm kümesindeki en küçük iki tam sayının (66 ve 77) toplamı doğru cevabı verir.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritma fonksiyonlarının tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması şartını kullanarak tanım kümesini belirlemek.
Paydaki ifade için x−3>0  ⟹  x>3x - 3 > 0 \implies x > 3 olmalıdır. Paydadaki ifade için x2−4x>0  ⟹  x(x−4)>0  ⟹  x<0x^2 - 4x > 0 \implies x(x - 4) > 0 \implies x < 0 veya x>4x > 4 olmalıdır. Her iki koşulun kesişiminden en geniş tanım kümesi T=(4,∞)T = (4, \infty) olarak bulunur.
Logaritmanın tanımlı olmadığı aralıklarda eşitsizlik çözümü aranamaz.
2
Pay ve paydadaki ifadelerin köklerini (ifadeyi sıfır yapan noktaları) bulmak.
Payın kökü: log⁡12(x−3)+1=0  ⟹  log⁡12(x−3)=−1  ⟹  x−3=2  ⟹  x=5\log_{\frac{1}{2}}(x-3) + 1 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x-3) = -1 \implies x-3 = 2 \implies x = 5. Paydanın kökü: log⁡5(x2−4x)−1=0  ⟹  log⁡5(x2−4x)=1  ⟹  x2−4x=5  ⟹  x2−4x−5=0  ⟹  (x−5)(x+1)=0  ⟹  x=5\log_5(x^2-4x) - 1 = 0 \implies \log_5(x^2-4x) = 1 \implies x^2-4x = 5 \implies x^2-4x-5=0 \implies (x-5)(x+1)=0 \implies x=5 veya x=−1x=-1.
Eşitsizlik tablosu oluşturmak veya işaret değişimi incelemek için kritik noktalar belirlenmelidir.
3
Tanım kümesi (x>4x > 4) sınırları dahilinde pay ve paydanın işaretlerini analiz ederek eşitsizliğin çözüm kümesini bulmak.
Taban değerlerine göre; 12<1\frac{1}{2} < 1 olduğundan pay kısmı x>5x > 5 için negatif, x<5x < 5 için pozitiftir. Payda ise 5>15 > 1 olduğundan x>5x > 5 için pozitif, x<5x < 5 için negatiftir. Buradan oranlandığında, x≠5x \neq 5 ve x>4x > 4 koşulları altında tüm değerler için oran negatif olur. Eşitsizliğin en geniş çözüm kümesi (4,5)∪(5,∞)(4, 5) \cup (5, \infty) olarak elde edilir.
Pay ve paydanın işaret değişimi ile paydanın tanımsızlık yaptığı nokta belirlenerek çözüm kümesi oluşturulur.
4
Çözüm kümesindeki en küçük iki farklı tam sayıyı belirleyip toplamak.
Çözüm kümesindeki tam sayılar 6,7,8,…6, 7, 8, \dots şeklindedir. En küçük iki tam sayı 66 ve 77 olup, toplamları 6+7=136 + 7 = 13 bulunur.
Soruda bizden istenen nihai sonuca ulaşmak.

Anahtar Kavram

Üstel ve Logaritmik Eşitsizliklerin Çözümü ve Tanım Kümesi Analizi
Tahmini Süre:2m 30s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru