Examkin

Soru

Zorluk: ZorÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡12(x−2)+3log⁡3(x2−9)−3≥0\frac{\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 3}{\log_3(x^2 - 9) - 3} \geq 0

eşitsizliğini sağlayan tüm xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 34

Cevap

Eşitsizliğini sağlayan tüm x tam sayılarının toplamı 34'tür.
Eşitsizliği sağlayan tam sayılar 7, 8, 9 ve 10 olup toplamları 34'tür.

Adım Adım Çözüm

1
Logaritmik ifadelerin tanımlı olabilmesi için gerekli olan tanım kümelerini belirlemek.
x>3x > 3 olmalıdır.
log⁡b(a)\log_b(a) ifadesinin tanımlı olması için a>0a > 0 olmalıdır. Dolayısıyla x−2>0  ⟹  x>2x - 2 > 0 \implies x > 2 ve x2−9>0  ⟹  x>3x^2 - 9 > 0 \implies x > 3 veya x<−3x < -3 koşullarının kesişimi alınarak x>3x > 3 bulunur.
2
Payın kökünü bulmak.
x=10x = 10
log⁡12(x−2)+3=0  ⟹  log⁡12(x−2)=−3  ⟹  x−2=8  ⟹  x=10\log_{\frac{1}{2}}(x - 2) + 3 = 0 \implies \log_{\frac{1}{2}}(x - 2) = -3 \implies x - 2 = 8 \implies x = 10 olur.
3
Paydanın köklerini bulmak.
x=6x = 6 (ve x=−6x = -6, ancak bu değer tanım kümesi dışındadır).
log⁡3(x2−9)−3=0  ⟹  log⁡3(x2−9)=3  ⟹  x2−9=27  ⟹  x2=36  ⟹  x=6\log_3(x^2 - 9) - 3 = 0 \implies \log_3(x^2 - 9) = 3 \implies x^2 - 9 = 27 \implies x^2 = 36 \implies x = 6 veya x=−6x = -6 olur. Tanım kümesi x>3x > 3 olduğundan sadece x=6x = 6 kökü incelenir.
4
Pay ve paydanın işaretlerini tanım kümesi olan (3,∞)(3, \infty) aralığında incelemek.
İşaret tablosu yardımıyla eşitsizliğin [6,10][6, 10] aralığında pozitif veya sıfır olduğu, ancak x=6x = 6'da payda sıfır olduğu için tanımsız olduğu belirlenir. Çözüm kümesi (6,10](6, 10] olarak elde edilir.
Payın tabanı 1/2<11/2 < 1 olduğundan azalan, paydanın tabanı 3>13 > 1 olduğundan artan fonksiyondur. Bu durum işaret tablosundaki yönleri belirler.
5
Çözüm kümesindeki tam sayıların toplamını bulmak.
34
(6,10](6, 10] aralığındaki tam sayılar 7,8,9,107, 8, 9, 10 olup, toplamları 7+8+9+10=347 + 8 + 9 + 10 = 34 eder.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerin çözümünde tanım kümesi sınırlamaları, tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizliğin yön değiştirmesi ve rasyonel ifadelerin işaret incelemesi.
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru