Examkin

Soru

Zorluk: OrtaÜstel ve Logaritmik Eşitsizlikler
log⁡0,2(x2−2x)≥log⁡0,2(x+4)\log_{0,2}(x^2 - 2x) \geq \log_{0,2}(x + 4)

eşitsizliğini sağlayan xx tam sayılarının toplamı kaçtır?

Cevap: 6

Cevap

Eşitsizliği sağlayan xx tam sayılarının toplamı 6'dır.
Verilen logaritmik eşitsizlikte taban 0 ile 1 arasında olduğu için logaritmanın içi yön değiştirerek x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4 olur ve buradan [−1,4][-1, 4] aralığı elde edilir. Logaritmanın tanım kümeleri olan x2−2x>0x^2 - 2x > 0 ve x+4>0x + 4 > 0 şartları birleştirildiğinde x∈(−4,0)∪(2,∞)x \in (-4, 0) \cup (2, \infty) bulunur. Bu iki kümenin kesişimi [−1,0)∪(2,4][-1, 0) \cup (2, 4] aralığıdır. Bu aralıktaki tam sayılar −1,3-1, 3 ve 44 olup toplamları 6'dır.

Adım Adım Çözüm

1
Eşitsizliğin logaritmasız halini yazma
x2−2x≤x+4x^2 - 2x \leq x + 4
Logaritma tabanı olan 0,20,2 değeri 00 ile 11 arasında olduğundan, logaritma fonksiyonu azaland��r ve eşitsizlik yön değiştirir.
2
İkinci dereceden eşitsizliği çözme
x2−3x−4≤0  ⟹  (x−4)(x+1)≤0  ⟹  x∈[−1,4]x^2 - 3x - 4 \leq 0 \implies (x - 4)(x + 1) \leq 0 \implies x \in [-1, 4]
Eşitsizliğin sınırlarını belirleyerek değişkenin alabileceği temel aralığı bulmak için.
3
Logaritma fonksiyonlarının tanım kümelerini belirleme
x2−2x>0  ⟹  x<0x^2 - 2x > 0 \implies x < 0 veya x>2x > 2 ve x+4>0  ⟹  x>−4x + 4 > 0 \implies x > -4. Kesişimleri: x∈(−4,0)∪(2,∞)x \in (-4, 0) \cup (2, \infty)
Gerçek sayılarda logaritma fonksiyonunun tanımlı olabilmesi için logaritması alınan ifadelerin pozitif olması şarttır.
4
Çözüm aralığı ile tanım kümesini kesiştirme
[−1,4]∩((−4,0)∪(2,∞))=[−1,0)∪(2,4][-1, 4] \cap ((-4, 0) \cup (2, \infty)) = [-1, 0) \cup (2, 4]
Hem cebirsel eşitsizliği hem de logaritmanın tanım kümesini aynı anda sağlayan ortak bölgeyi bulmak için.
5
Aralıktaki tam sayıları belirleyip toplama
Tam sayılar: −1,3,4-1, 3, 4. Toplam: −1+3+4=6-1 + 3 + 4 = 6
Soruda istenen xx tam sayılarının toplamını hesaplamak için.

Anahtar Kavram

Logaritmik eşitsizliklerde tabanın 1'den küçük olması durumunda eşitsizlik yönünün değişmesi ve logaritma tanım kümesinin (pozitiflik şartı) çözüm kümesiyle kesiştirilmesi.
Tahmini Süre:2m 0s
Bu soruyu puanla

Konular

Üstel ve Logaritmik Eşitsizlikler

Bu konudan daha fazla soru